3.1.3 组合与组合数-2021-2022学年高二数学同步知识梳理+考点精讲精练(人教B版2019选择性必修第二册)

第三章 排列､组合与二项式定理 3.1排列与组合 3.1.3 组合与组合数 知识梳理 1.组合：一般地，从n个不同对象中取出m(m≤n)个对象并成一组，称为从n个不同对象中取出m个对象的一个组合． 2.组合数：从n个不同对象中取出m个对象的所有组合的个数，称为从n个不同对象中取出m个对象的组合数，用符号表示． （1）排列与组合的区别与联系 ①共同点：两者都是从n个不同对象中取出m(m≤n)个对象． ②不同点：排列与对象的顺序有关，组合与对象的顺序无关． ③只有两个组合中的对象完全相同，不论对象的顺序如何，都是相同的组合，只有当两个组合中对象不完全相同时，才是不同的组合． （2）组合与组合数的区别 一个组合是具体的一件事，它不是一个数；而组合数是指所有组合的个数，它是一个数． 3．组合数的性质 （1）． （2）． 点睛：（1）计算时，若m>，通常不直接计算，而是根据性质（1）改为计算． （2）要注意公式的正用、逆用、变形．尤其是当m，n都是具体自然数时的应用．正用时是“合二为一”，即将化为；逆用则是将组合数拆开；变形则为． 常见考点 考点一 组合的意义理解 典例1．以下四个命题，属于组合问题的是（ ） A．从3个不同的小球中，取出2个排成一列 B．老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌 C．在电视节目中，主持人从100位幸运观众中选出2名幸运之星 D．从13位司机中任选出两位开同一辆车往返甲、乙两地 【答案】C 【分析】 根据组合的定义即可得到答案. 【详解】 只有从100位幸运观众中选出2名幸运之星，与顺序无关，是组合问题，而A,B,D均与顺序有关. 故选：C. 变式1-1．给出下列问题： ①从甲､乙､丙名同学中选出名分别去参加两个乡镇的社会调查，有多少种不同的选法？ ②有张电影票，要在人中确定人去观看，有多少种不同的选法？ ③某人射击枪，击中枪，且命中的枪均为枪连中，则不同的结果有多少种？ 其中属于组合问题的个数为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 根据选项中不涉及顺序的为组合问题可确定结果. 【详解】 对于①，选出名同学后，分配到两个乡镇涉及到顺序问题，是排列问题； 对于②，选出人观看不涉及顺序问题，是组合问题； 对于③，射击命中不涉及顺序问题，是组合问题. 故选：C. 变式1-2．从5人中选3人参加座谈会，其中甲必须参加，则不同的选法有（ ） A．60种 B．36种 C．10种 D．6种 【答案】D 【分析】 由组合数公式即求. 【详解】 甲必须参加，因此只要从除甲之外的4人中选2人即可，有(种). 故选：D. 变式1-3．某校学生志愿者服务团队由3名男同学和2名女同学组成，若从这5名同学中随机选出3人参加社区志愿者活动，且每人被选到的可能性相等，则恰有2名男同学被选中的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 由题设，写出5名同学中随机选出3人参加社区志愿者活动中，恰有2名男同学被选中的选法数和总选法，应用古典概型的概率求法求概率. 【详解】 由题意知：恰有2名男同学被选中的选法有种，而总选法有种， ∴恰有2名男同学被选中的概率为. 故选：D. 考点二 组合数的计算 典例2．（ ） A．110 B．65 C．55 D．100 【答案】B 【分析】 利用排列数、组合数公式求值即可. 【详解】 ． 故选：B． 变式2-1．已知，（ ） A．1 B． C． D．0 【答案】D 【分析】 利用组合数公式求解即可. 【详解】 . 故选：D 变式2-2．已知，则x的取值为（ ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【分析】 利用组合数的性质求解即可. 【详解】 根据组合数的性质 或 解得， 选项A正确，选项BCD错误. 故选：A. 变式2-3．若，则n=（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【分析】 直接由排列数和组合数公式计算即可. 【详解】 由，则 则，得即， 解得n=6或（舍）. 故选：A 考点三 分组分配问题 典例3．2021年3月5号是毛泽东主席提出“向雷锋同志学习”58周年纪念日，某志愿者服务队在该日安排5位志愿者到两所敬老院开展志愿服务活动，要求每所敬老院至少安排2人，则不同的分配方案数是（ ） A．10 B．15 C．20 D．30 【答案】C 【分析】 按照不均分的分组分配问题，计算结果. 【详解】 由题意可知，一所2人，一所3人，所以分配方案有种. 故选：C 变式3-1．有5位同学报名参加叁个活动小组，每人限报一个小组且每个小组都有人参加，则不同的报名方法共有（ ） A．99种 B．106种 C．132种 D．150种 【答案】D 【分析】 先进行分类，然后计算出不同的方法数. 【