3.1.1 基本计数原理-2021-2022学年高二数学同步知识梳理+考点精讲精练(人教B版2019选择性必修第二册)

第三章 排列､组合与二项式定理 3.1排列与组合 3.1.1基本计数原理 知识梳理 1．分类加法计数原理 完成一件事，如果有n类办法，且：第一类办法中有m1种不同的方法，第二类办法中有m2种不同的方法……第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+…+mn种不同的方法. 利用分类加法计数原理解题的注意事项 （1）明确题目中所指的“完成一件事”是什么事，完成这件事可以有哪些办法，怎么才算是完成这件事. （2）完成这件事的n类办法，无论用哪类办法中的哪种方法都可以单独完成这件事，而不需要用到其他的方法. （3）确立恰当的分类标准，准确地对“完成这件事的办法”进行分类，要求每一种方法必属于某一类办法，不同类办法的任意两种方法不同，也就是分类必须既不重复也不遗漏.从集合的角度看，若完成一件事分A，B两类办法，则A∩B=，AB=I(I表示全集). 2.分步乘法计数原理 完成一件事，如果需要分成n个步骤，且：做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×…×mn种不同的方法. 利用分步乘法计数原理解题的注意事项： （1）明确题目中所指的“完成一件事”是什么事，完成这件事需要几步. （2）完成这件事需要分成若干个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事，无论缺少哪一步，这件事都不可能完成. （3）根据题意正确分步，要求各步之间必须连续，只有按照这几步逐一去做，才能完成这件事，各步之间既不能重复也不能遗漏. （4）对于同一个题目，标准不同，分步也不同.分步的基本要求：一是完成一件事，必须且只需连续做完几步，既不漏步也不重步；二是不同步骤的方法不能互相替代. 常见考点 考点一 分类加法计数原理 典例1．如图所示，在，间有四个焊接点1，2，3，4，若焊接点脱落导致断路，则电路不通，则焊接点脱落的不通情况有（ ）种. A．9 B．11 C．13 D．15 【答案】C 【分析】 根据题意分脱落1个、2个、3个和4个，进而列举出所有情况得到答案. 【详解】 解：按照可能脱落的个数分类讨论， 若脱落1个，则有（1），（4）两种情况， 若脱落2个，则有，，，，，共6种情况， 若脱落3个，则有，，，共4种情况， 若脱落4个，则有共1种情况， 综上共有种情况. 故选：C. 变式1-1．从A地到B地，可乘汽车、火车、轮船三种交通工具，如果一天内汽车发3次，火车发4次，轮船发2次，那么一天内乘坐这三种交通工具的不同走法数为（ ） A．1＋1＋1＝3 B．3＋4＋2＝9 C．3×4×2＝24 D．以上都不对 【答案】B 【分析】 根据分类加法计数原理可求. 【详解】 根据分类加法计数原理可得，一天内乘坐这三种交通工具的不同走法数为3＋4＋2＝9种. 故选：B. 变式1-2．某学生在书店发现3本好书，决定至少买其中的1本，则购买方法有（ ） A．3种 B．6种 C．7种 D．9种 【答案】C 【分析】 根据分类加法计数原理即可求解. 【详解】 分3类，买1本书，买2本书，买3本书， 各类的方法依次为3种，3种，1种，故购买方法有3＋3＋1＝7(种). 故选：C 变式1-3．从甲地到乙地有2种走法，从乙地到丙地有4种走法，从甲地不经过乙地到丙地有3种走法，则从甲地到丙地的不同走法种数共有（ ） A．2＋4＋3 B．2×4＋3 C．2×3＋4 D．2×4×3 【答案】B 【分析】 根据分类加法计数原理以及分步乘法计数原理即可求解. 【详解】 分两类，一是从甲地经乙地到丙地，有2×4种， 二是直接从甲地到丙地有3种， 所以从甲地到丙地的不同走法种数共有2×4＋3. 故选：B 考点二 分步乘法计数原理 典例2．我国中医药选出的“三药三方”对治疗某疾病有显著效果．若某医生“三药三方”中随机选出2种，则恰好选出1药1方的方法种数为（ ） A．15 B．30 C．6 D．9 【答案】D 【分析】 利用分步乘法计数原理可计算. 【详解】 根据提议，1药的取法有3种，1方的取法也有3种，则恰好选出1药1方的方法种数为． 故选：D. 变式2-1．某校新生分班，现有A，B，C三个不同的班，甲和乙同学将被分到这三个班，每个同学分到各班的可能性相同，则这两名同学被分到同一个班的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 先求出两名学生分到三个班的分法的种数，在求出两人在同一个班级分法的种数，即可得出答案. 【详解】 解：两名学生分到三个班的分法的种数为种， 两人在同一个班级分法的种数为3种， 所以两名同学被分到同一个班的概率为. 故选：A. 变式2-2．现有四件不同款式的上衣与三条不同颜色的长裤，如果选一条长裤与一件上衣配成一套，那么不同的选法