第17讲 角的平分线（讲+练）-【A+课堂】2021-2022学年八年级数学上册同步精讲精练（沪教版）

第17讲 角的平分线 知识梳理 1、角的平分线的性质定理： 角的平分线的性质定理：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 几何语言表示：∵ OE是∠AOB的平分线，CF⊥OA，DF⊥OB ∴CF＝DF. 定理的作用：①证明两条线段相等；②用于几何作图问题； 角是一个轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线. 2、角的平分线性质定理的逆定理： 角平分线性质定理的逆定理：在一个角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上. 几何语言表示：∵ PC⊥OA，PD⊥OB， PC＝PD，∴点P在∠AOB的平分线上. 定理的作用：用于证明两个角相等或证明一条射线是一个角的角平分线 注意角平分线的性质定理与逆定理的区别和联系. 3、关于三角形三条角平分线的定理： （1）关于三角形三条角平分线交点的定理：三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等. 定理的作用：①用于证明三角形内的线段相等；②用于实际中的几何作图问题. 题型探究 题型一、角的平分线的性质求线段、周长、面积 【例1-1】在Rt中,∠C=90°,∠A的平分线交BC于点D,且BC=8,BD=5,那么点D到AB的距离是_____ 【答案】3 【分析】 作DE⊥AB于E点,根据角平分线的性质,即可证得DE=CD,即可求解． 【详解】 解：如图,作DE⊥AB于E点． ∵∠A的平分线交BC于点D, ∠C=90°, DE⊥AB, ∴DE=CD=3． 即点D到AB的距离等于3． 故答案为：3． 【点睛】 本题考查了角平分线的性质定理,正确证得DE=CD以及找到点D到AB的距离是关键． 【例1-2】如图,在△ABC中,OB、OC分别是∠ABC和∠ACB的平分线,过点O作EF∥BC,分别与边AB、AC相交于点E、F,AB=8,AC=7,那么△AEF的周长等于_______. 【答案】15 【分析】 由题易知BE=OE，OF=FC，可得到△AEF的周长实际为AB+AC的长度 【详解】 ∵EF∥BC ∴∠EOB=∠OBC, ∠FOC=∠COF ∵OB、OC分别是∠ABC和∠ACB的平分线 ∴∠OBC=∠OBE, ∠FOC=∠OCB ∴∠EOB=∠OBC=∠OBE，∠FOC=∠COF=∠OCB ∴BE=OE，OF=FC ∴△AEF的周长=AE+OE+OF+AF=AE+BE+FC+AF=AB+AC=8+7=15 故填15 【点睛】 本题综合了三角形周长计算，等腰三角形性质和平行线性质，能够进行边的替换是解题关键 【例1-3】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠BAC交BC于点Ｄ，DE⊥AB于点E，若AB＝5 cm，则△BDE的周长为________． 【答案】5 cm 【详解】 ∵AD平分∠BAC,∠C=90∘，DE⊥AB， ∴CD=DE， 在△ACD和△AED中, AD=AD，CD=DE， ∴△ACD≌△AED(HL)， ∴AC=AE， ∴△BDE的周长=BD+DE+BE=BD+CD+BE=BC+BE=AC+BE=AE+BE=AB， ∵AB=5cm， ∴△BDE的周长=5cm. 故答案为5cm. 【例1-4】如图，在中，，平分交于点，垂直平分交于点．若，则等于（ ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 由条件可知AD=3，通过垂直平分线的性质定理可知BD=AD，再由角平分线的性质定理可知DE=DC，即可求得BC的长. 【详解】 解：∵， ∴， ∵垂直平分交于点， ∴， ∵平分交于点，，垂直， ∴， ∴， 故选D. 【点睛】 本题主要考查了角平分线性质定理以及垂直平分线的性质定理. 【例1-5】如图，在中，若为的平分线，，则______． 【答案】 【分析】 过D分别作AB、AC的垂线，根据角平分线性质定理得出垂线段相等，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】 解：如图， 过D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N， ∵为的平分线， ∴DM=DN， ∴（AB×DM）：（AC×DN）， 化简得到AB：AC=1：2， 故答案为：1：2． 【点睛】 本题考查了角平分线性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，以及三角形的面积的应用. 【例1-6】△ABC的三边AB、BC、CA的长分别是20、30、40,其三条角平分线相交于O点，将三角形ABC分为三个三角形，则_______. 【答案】 【分析】 根据角平分线的性质得，三角形ABC分成的三个三角形有一条相等的高，故三个三角形的面积之比等于该高所对的边之比. 【详解】 设边AB上的高为，边BC上的高为，边CA上的高为 由角平分线的性质得： 故 故答案为. 【点睛】 本题考查了角平分线的性质（角平分线上的点到角两边的距离相等），掌握角平分线的性质是解题关键. 【例1-7】如图