专题04 整式的乘除（思维导图+知识点清单+热考题型 ）-2022年中考数学一轮复习精讲+热考题型（全国通用）

专题04 整式的乘除 【知识要点】 知识点一 幂的运算 · 同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。（其中m、n为正整数） 【注意事项】 1）当底数为负数时,先用同底数幂乘法法则计算，再根据指数的奇偶来确定结果的正负，并且化简到底。 2）不能疏忽指数为1的情况。例：a·a2＝a1＋2＝a3 3）乘数a可能是有理数、单项式或多项式。 4）如果底数互为相反数时可先变成同底后再运算。 5）逆用公式：（m,n都是正整数） 【扩展】三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质， 即（m，n，p都是正整数） · 幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘.(其中m，n都是正整数). 【注意事项】 1）负号在括号内时,偶次方结果为正,奇次方为负,负号在括号外结果都为负。 2）逆用公式： 【扩展】 (m，n，p均为正整数) · 积的乘方：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。(其中n是正整数)。 【注意事项】逆用公式： 【扩展】 (n为正整数) · 同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数减。 （a≠0，m、n都是正整数，且m＞n） 【注意事项】 1）0不能做除数的底数。 2）运用同底数幂除法法则关键：看底数是否相同，而指数相减是指被除式的指数减去除式的指数。 3）注意指数为1的情况，如x8÷x=x7 ，计算时候容易遗漏将除数x的指数忽略。 4）逆用公式:（a≠0，m、n都是正整数，并且m＞n） 【扩展】当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质.即：（a≠0，m、n、p都是正整数，并且m＞n＞p），但计算时要按照顺序计算。 · 零指数幂：任何不等于零的数的0指数幂都等于l。a0＝1（a≠0） · 负整数指数幂：任何不等于零的数的-n（n为正整数）次幂，等于这个数的n次幂的倒数， 即（a≠0，n是正整数）. 【注意】： 1）a可以是不等于0的数，也可以是不等于0的代数式。例如：。 2）引进零指数幂和负整数指数幂后，指数的范围已经扩大到了全体整数，所学的幂的运算性质仍然成立。 ①(其中m，n为整数，a≠0); ②(其中m，n为整数，a≠0); ③(其中n为整数，a≠0，b≠0)。 知识点二 整式乘除 · 单项式×单项式 单项式的乘法法则：单项式与单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． 单项式乘法易错点： 【注意】 1）单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用。 2）单项式乘以单项式的结果仍是单项式。 3）运算顺序：先算乘方，再算乘法。 · 单项式×多项式 单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加 【注意事项】 1）单项式乘多项式的结果是多项式，积的项数与原多项式的项数相同。 2）单项式分别与多项式的每一项相乘时，要注意积的各项符号。（同号相乘得正，异号相乘得负） 例： 3）对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的结果。 · 多项式×多项式 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加． 【注意事项】 多项式与多项式相乘时，多项式的每一项都应该带上它前面的正负号。多项式是单项式的和，每一项都包括前面的符号，在计算时一定要注意确定各项的符号。 知识点三 乘法公式 1)平方差公式：（a＋b）（a－b）＝a2－b2 (特征：用相同项的平方减相反项的平方。) 【扩展】常见平方差公式的变形 1 位置变化：如 2 系数变化：如 3 指数变化：如 4 符号变化：如（相同项为b,“相反项”为a） 5 增项变化：如 6 增因式变化：如 【注意事项】 1）对因式中各项的系数、符号要仔细观察、比较，不能误用公式．如：(a＋3b)(3a-b)，不能运用平方差公式。 2）公式中的字母a、b可以是一个数、一个单项式、一个多项式。所以，当这个字母表示一个负数、分式、多项式时，应加括号避免出现只把字母平方，而系数忘了平方的错误。 2）完全平方公式：（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2 （a－b）2＝a2－2ab＋b2 【扩展】 扩展一(公式变化)： 扩展二： 扩展三： 【补充】： · 单项式÷单项式 单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。 · 多项式÷单项式 多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。 【解题思路】 多项式除以单项式问题转化为单项式除以单项式问题解决。 · 整式的混合运算 运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号时先算括号里面的。 知识点四