专题15 函数与导数解答题-2022年新高考数学模拟题分项汇编(第四期)

专题15 函数与导数解答题 1．（2021·河北衡水中学高三月考）已知： （1）若 在 上单调递增，求实数m的取值范围； （2）若 ，试分析 ， 的根的个数. 【答案】 （1） （2）无实根 【解析】 （1） 由于 在 上递增得： 在 上恒成立， 即 在 上恒成立 令 ， ， 则 ， 故 在 上递减，于是 ， 故 ； （2） ， ，故 在 上递增， 又 ， ， 故唯一 ，使得 在 上递减，在 上递增. 故 且 故 ， 令 ， 则 故 在 上递减 当 时，由 递减知 ， 故 ， 即 ， 从而有 在 上恒成立. 故 时， 无实根. 2．（2021·河北唐山市第十中学高三期中）若 ． （1）当 ． 时，讨论函数 的单调性； （2）若 ，且 有两个极值点 ， ，证明 ． 【答案】 （1）答案见解析 （2）证明见解析 【解析】 （1）当 时， ， 令 ， 或 ， 当 时，函数 在 上单调递增，在 上单调递减 在 上单调递增； 当 时， ，故函数 在 上单调递增； 当 时，函数 在 上单调递增，在 上单调递减在 单调递增； （2）证明：当 时， ． ∵函数 有两个极值点 ，∴方程 有两个根 ， ∴ ，且 ，解得 ， 由题意得 ， 令 ， 则 ，∴ 在 上单调递减，∴ ， ∴ 3．（2021·福建宁德一中高三期中）已知函数 . （1）求函数 在 上的最小值； （2）证明：当 时， . 【答案】 （1）当 时， ；当 时， ；当 时， . （2）见详解 【解析】 （1）由 ，得 ， ， 令 ，得 ，即 ，因此函数 在 上单调递减，在 上单调递增. ①当 ，即 时，函数 在 上单调递减，因此 ； ②当 时，函数 在 上单调递增，因此 ； ③当 ，即 时，函数 在 上单调递减，在 上单调递增，因此 . 综上所述，当 时， ；当 时， ；当 时， . （2）证明：设 ， ，则 ，易得函数 在 上单调递减，在 上单调递增，因此 ，故 恒成立. 要证 ，只需证 ， 因为 ，所以 ， 故只需证 （因 时，左边小于右边，所以可以带等号），即 . 令 ，则 ，易得函数 在 上单调递减，在 上单调递增，因此 ，故 . 因此当 时， . 4．（2021·福建省龙岩第一中学高三月考）设函数 （ ）. （1）求函数 的单调区间； （2）若 有两个零点 ， ，求 的取值范围，并证明： . 【答案】 （1）当 时， 在 上单调递增；当 时， 在 单调递减，在 单调递增 （2）证明见解析 【解析】 （（1）由 ， ，可得 ， . 当 时， ，所以 在 上单调递增； 当 时，令 ，得 ，令 ，得 ， 所以 在 单调递减，在 单调递增； （2）证明：（2）因为函数 有两个零点，由（1）得 ， 此时 的递增区间为 ，递减区间为 ， 有极小值 . 所以 ，可得 .所以 . 由（1）可得 的极小值点为 ，则不妨设 . 设 ， ， 可得 ， ， 所以 在 上单调递增，所以 ， 即 ，则 ， ， 所以当 时， ，且 . 因为当 时， 单调递增，所以 ，即 . 设 ， ，则 ，则 ，即 . 所以 ，所以 . 设 ，则 ，所以 在 上单调递减， 所以 ，所以 ，即 综上， . 5．（2021·福建省福州外国语学校高三月考）已知函数 ，a∈R （1）当a=1时，求曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的切线的方程 （2）若曲线y=f(x)与x轴有且只有一个交点，求a的取值范围. 【答案】 （1） （2） 或 【解析】 （1）当 时， ， ， ∴ ， ∴曲线y=f（x）在点(0，f(0))处的切线的方程为 . （2）由 得， ， 当 时， ，函数 在R上单调递增， 此时 ， 所以当 时，曲线y=f（x）与x轴有且只有一个交点； 当 时，令 得， ， ∴ 单调递增， 单调递减， ∴当 时，函数 有极大值， 若曲线y=f（x）与x轴有且只有一个交点， 则 ，解得 ， 综上所述，当 或 时，曲线y=f（x）与x轴有且只有一个交点. 6．（2021·福建三明一中高三月考）已知函数 ，其中 为奇函数， 为偶函数． （1）求 与 的解析式； （2）当 时， 有解，求实数 的取值范围． 【答案】 （1） ； （2） . 【解析】 （1）因为 ， ① 所以 ， 又因为 为奇函数， 为偶函数，所以 ， ， 所以 ， ② 联立①②得 ，解得 ． （2） 有解，即 有解， 令 ， 设 ，则 ， 因为 ，且 在 上为单调递增函数，所以 ， 所以 ，当且仅当 ，即 时取等号，所以 ， 故实数 的取值范围为 ． 7．（2021·辽宁实验中学高三期中）已知函数 . （1）若 在 处取得极值，求 的值及函数的单调区间； （2）请在下列两问中选择一问作答，答题前请标好选择.如果多写按第一个计分. ①若