专题14 三角函数及解三角形解答题-2022年新高考数学模拟题分项汇编(第四期)

专题14 三角函数及解三角形解答题 1．（2021·辽宁实验中学高三期中）如图：某公园改建一个三角形池塘， ， 百米， 百米，现准备养一批观赏鱼供游客观赏. （1）若在 内部取一点 ，建造 连廊供游客观赏，如图①，使得点 是等腰三角形 的顶点，且 ，求连廊 的长（单位为百米）； （2）若分别在 ， ， 上取点 ， ， ，并连建造连廊，使得 变成池中池，放养更名贵的鱼类供游客观赏，如图②，使得 为正三角形，或者如图③，使得 平行 ，且 垂直 ，则两种方案的 的最小面积分别设为 ， ，则 和 哪一个更小？ 【答案】 （1） 百米 （2）答案见解析. 【解析】 （1） 点 是等腰三角形 的顶点，且 ， EMBED Equation.DSMT4 且由余弦定理可得： 解得： 又 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 在 中， ， EMBED Equation.DSMT4 在 中，由余弦定理得 解得， 连廊的长为 百米. （2） 解：设图②中的正三角形 的边长为 ， ，（ ） 则 ， ， 设 ，可得 在 中，由正弦定理得： ，即 即 化简得： EMBED Equation.DSMT4 （其中， 为锐角，且 ） EMBED Equation.DSMT4 图③中，设 ， EMBED Equation.DSMT4 平行 ，且 垂直 ， ， ， ， 当 时， 取得最大值 ，无最小值， 即 即方案②面积的最小值大于方案③面积的最大值 方案③面积的最小值不存在，但是方案③的面积均小于方案②. 2．（2021·重庆一中高三月考） 中， ， ， ，点 ， 是边 上两点， . （1）当 时，求 的周长； （2）设 ，当 的面积为 时，求 的值. 【答案】 （1） （2） 或 【解析】 （1）∵ ， ， ，∴ ，∴ ， 在 中，由余弦定理可得 EMBED Equation.DSMT4 ， 则 ，∴ ，∴ ，∵ ， ∴ ，∴ ， ∴ 的周长为 ； （2） 解：在 中， ， 由 得 ， 又在 中，由 ，得 ， 所以 ， 由 得 ， ∵ ，所以 ， 所以 或 所以 或 . 3．（2021·重庆八中高三月考）如图， 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， ，且 . （1）求角 的大小； （2）在 内有点 ， ，且 ，直线 交 于点 ，求 . 【答案】 （1） （2） 【解析】 （1）在 中，由正弦定理化边为角可得： ， 因为 ， 所以 ， 可得 ，即 ， 所以 或 ， 由 可得 ，所以 不成立， 所以 ，因为 可得 ， （2） 在 中，因为 ，所以 ， 因为 ，所以 ， ， 在 中，由正弦定理可得： ， 在 中，由正弦定理可得： ， 两式相除可得： ， 所以 ， ， 在 中，由余弦定理可得： ， 所以 ，所以 . 4．（2021·重庆巴蜀中学高三月考）已知在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，选择下列两个条件之一：①： ，②： 作为已知条件，解答以下问题. （注：若两个条件都选择作答，按第一个条件作答内容给分） （1）求角 的大小； （2）若 的面积为 ， ，求 的值. 【答案】条件选择见解析；（1） ；（2） . 【解析】 （1）若选择条件①： 在 中，因为 ， 所以 ， 于是有 ， 即 ， 所以 ，解得 或 （舍去）， 因为 ，所以 ； 若选择条件②： 由 ，可得： ，即有 ， 所以 ， 因为 中， ，所以 . （2） 的面积 ， 结合（1）中 ，得： ， 利用正弦定理， ， 解得 ，又 ， 所以 . 5．（2021·江苏海安高级中学高三月考）在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 ． （1）求角 的大小； （2）若 ， ， 为边 上一点，且 ，求 的值． 【答案】 （1） （2） 或1 【解析】 （1）因为 ， 在△ABC中， ， 所以 ． 在△ABC中，由正弦定理得： 又 ， ， 所以 ，即 ， 又 ，所以 ，所以 ， 所以 ， 因为 ， 所以 ， 即 ． （2） 因为 ， 所以 ， EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， 在 ABC中，由正弦定理得 ， 所以 ， 在 ABC中，由余弦定理得： ， 即 ， 故 ， 所以 或 ， 当 时， ， ， 当 时， ， ， 所以 的值为 或1． 6．（2021·江苏省天一中学高三月考）已知 ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，向量 ，且 ， （1）若 ，求A及tanC的值； （2）若 为锐角三角形，且 ，求 周长的取值范围. 【答案】（1）A= ；tanC= ；（2） . 【解析】 （1）因为 ，所