专题13 平面解析几何解答题-2022年新高考数学模拟题分项汇编(第四期)

专题13 平面解析几何解答题 1．（2021·江苏如皋一中高三月考）已知双曲线 ，点 的坐标为 ，过 的直线 交双曲线 于点 . （1）若直线 又过 的左焦点 ，求 的值； （2）若点 的坐标为 ，求证： 为定值. 【答案】 （1） ； （2）证明见解析. 【解析】 （1）由双曲线 可得 ， ，所以 ， 所以 ，设 ， ， ，所以直线 的方程为 ， 由 联立得： ， 所以 ， . （2）由题意知直线 的斜率存在，不妨设直线 ， 由 可得： ， 所以 ， ， ， ， . 所以 为定值. 2．（2021·江苏海安高级中学高三月考）如图，已知直线 与椭圆 ： 交于A，B两点（点A在第一象限），点 在椭圆E内部，射线AP，BP与椭圆E的另一交点分别为C，D． （1）求点A到椭圆左准线的距离； （2）求证：直线CD的斜率为定值． 【答案】 （1） （2）证明见解析 【解析】 （1）因为椭圆 中， ， ，所以 ，故左准线为 ． 由 得 ，因为点A在第一象限，所以 ．故所求距离为 ． （2）设 ， ， ， ， ， 则 ， ， ， 又设 ， ，其中 ， 则 代入椭圆 并整理得， ， 从而有 ，① 同理可得， ，② 结合 ， ， 两点均在直线 上， ①－②得， ， 因为 ，所以 ， 从而 ，故 ． 故直线 的斜率为定值. 3．（2021·广东福田一中高三月考）已知抛物线 ： 上的点 到其焦点的距离为2． （1）求点P的坐标及抛物线C的方程； （2）若点M、N在抛物线C上，且 ，求证：直线MN过定点． 【答案】 （1） ， （2）证明见解析 【解析】 （1）抛物线的焦点 ，准线为 ， 因为点 到其焦点的距离为2， 所以 ，解得 ， 所以抛物线的方程为 ， 因为点 在抛物线上， 所以 ，解得 ， 所以 ， 综上，P点坐标为 ，抛物线的方程为 ． （2）证明：设直线MN的方程为 ， ， ， 联立 ，得 ， 所以 ， ， 所以 ， 同理可得 ， 因 ， 所以 ， 所以 ， 所以 ，即 （满足 ）， 直线MN的方程为 ， 所以直线MN过定点 ． 4．（2021·广东龙岗中学高三期中）已知圆 ： 和定点 ，动点 ､ 在圆 上. （1）过点 作圆 的切线，求切线方程； （2）若满足 ，设直线 与直线 相交于点 . ①求证：直线 过定点； ②试探究 和 的定量关系. 【答案】 （1） 或 （2）①证明见解析；② 【解析】 （1）当过点 的直线方程为 时，直线与圆 不相切， 故可设切线方程为 ，即 圆心到直线的距离 ，整理得 解得 或 ， 切线方程为 或 . （2）①由题意可知，直线 斜率不为零，可设直线 的方程为 ，其中 EMBED Equation.DSMT4 ， ，将直线和圆的方程联立 ，整理得 ， ，由韦达定理得： ， 由题意知 ，得 代入韦达定理并化简得： 所以 ， 的方程为 ，经过定点 . ②设 的方程为 ，得 ，即 则 5．（2021·广东中山中学模拟）已知椭圆 的离心率为 ，且点 在椭圆 上， 是椭圆 上的两个不同点． （1）求椭圆 的标准方程； （2）若直线 的斜率之积为 ，点 满足 （ 为坐标原点），直线 与椭圆 的另一个交点为 （与 不重合），若 ，求 的值. 【答案】 （1） （2） 【解析】 （1）由题知 ，所以 ， 所以椭圆方程为 ，代入点 得 ， 解得 ，所以椭圆方程为 ； （2）设 ，由 得 ， 由 得 ， 所以 ， 又点 在椭圆 上，所以 ， 即 ， 由 是椭圆 上得 --① 又因为直线 的斜率之积为 ，所以 ，即 --② 把②代入①得 ，解得 或 (舍去，因为 不重合). 6．（2021·广东惠州一中高三月考）已知椭圆 的左右焦点分别为 ， ，过点 且不与 轴重合的直线 与椭圆相交于 ， 两点.当直线 垂直 轴时， . （1）求椭圆的标准方程； （2）求 内切圆半径的最大值. 【答案】（1） ；（2）最大值为1. 【解析】（1）由已知条件可设 ， ， 由 ， 解得 ， 所以椭圆的标准方程为 . （2）设 ， ， 由题意，直线 的斜率不为0，设直线 的方程为 ， 联立 ，消去 并化简得 ， 由韦达定理得 ， ， 那么 EMBED Equation.DSMT4 ， 所以 ， 而 ， 当且仅当 ，即 时等号成立. 又因为 ， 所以 内切圆半径的最大值为1. 7．（2021·广东湛江一中高三月考）已知椭圆 ： 的离心率 ，且 经过点 . （1）求椭圆 的标准方程； （2）过点 的直线 交 于另一点 ，若 ，求直线 的斜率. 【答案】（1） ；（2） . 【解析】 （1）因为椭圆的离心率 ，所以 ，即 ， 因为 经过点 ，所以有 ，即 ，所以 ， 因此椭圆 的标准方程为： ； （2）因为 是椭圆的左顶点，所以由过点 的直线 交