专题12 立体几何解答题-2022年新高考数学模拟题分项汇编(第四期)

专题12 立体几何解答题 1．（2021·重庆八中高三月考）如图甲，在梯形 中， ，过点B作 且 ，将梯形沿 折叠得到图乙.折叠后 ，点F是 的中点. （1）求证： 平面 ； （2）求平面 与平面 所成的锐二面角的余弦值. 【答案】 （1）证明见解析 （2） 【解析】 （1）证明：取ED的中点G，连接FG、CG，因为点F是 的中点，所以 又 ，过点B作 且 ，所以 ， 所以 ，所以四边形BCGE是平行四边形，所以 ，又 面 ， 面 ，所以 面 . （2） 解：取BD的中点O，连接CO、AO，因为 ，所以 面 ， 又 ，所以 面 ， 又 ， ，所以 是正三角形， ， 所以以O为坐标原点， OC所在的直线为x轴，以 ， 的方向分别为y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz. 设 ，则 ， ， ， ， ，从而 ， ， ， . 设平面ACD的法向量为 ， 则 令 ，得 . 设平面AEB的法向量为 ， 则 令 ，得 . 设平面 与平面 所成的锐二面角为 ， 故 ，所以平面 与平面 所成的锐二面角的余弦值为 . 2．（2021·重庆西南大学附中高三月考）在五面体 中，四边形 为正方形，平面 平面 ， ， ， . （1）若平面 平面 ，求 的长； （2）在第（1）问的情况下，过 点作平行于平面 的平面 交 于点 ，交 于点 ，求三棱柱 的体积. 【答案】（1） ；（2） . 【解析】 （1）因为平面 平面 ，平面 平面 ， ， 平面 ， 平面 ， 又 ，以 为原点， 、 、 分别为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系， 设 ，则 、 、 、 、 ， ， ， ， ， 设平面 的法向量为 ，设平面 的法向量为 ， 由 ，取 ，可得 ， 由 ，取 ，可得 ， 因为平面 平面 ，则 ，所以， ， ，解得 ； （2）若 ，则由（1）可知平面 的一个法向量为 ， 因为 、 ， ， 所以，点 到平面 的距离为 ， 又因为平面 平面 ，平面 平面 ， ， 平面 ， 平面 ， 平面 ， ， 在梯形 中， ，则 ， 所以，直角 的面积为 ， 所以 . 3．（2021·辽宁沈阳市翔宇中学高三月考）如图，已知正方体 的上底面内有一点 ，点 为线段 的中点. （1）经过点 在上底面画一条直线 与 垂直，并说明画出这条线的理由； （2）若 ，求 与平面 所成角的正切值. 【答案】 （1）连接 ，在上底面过点 作直线 EMBED Equation.DSMT4 即可,作图见解析. （2） 【解析】 （1）连接 ，在上底面过点 作直线 EMBED Equation.DSMT4 即可，则 EMBED Equation.DSMT4 . 理由： 平面 ，且 平面 ， 又 ， ， 平面 ， 平面 ， ； （2）以 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 轴， 轴， 轴，建立如图所示空间直角坐标系， 设正方体的棱长为2，则 ， EMBED Equation.DSMT4 . 又 ， ， ，则 ， 设平面 的一个法向量为 ,则 EMBED Equation.DSMT4 设 与平面 所成角为 ，则 ， 与平面 所成角的正切值为 . 4．（2021·河北唐山一中高三期中）四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，CD AB，∠ABC=90°，AB=2BC=2CD=4，侧面PAD⊥面ABCD，PA=PD=2. （1）求证：BD⊥PA； （2）已知平面PAD与平面PBC的交线为l，在l上是否存在点N，使二面角P-DC-N的余弦值为 ？若存在，请确定N点位置，若不存在，请说明理由. 【答案】 （1）证明见解析 （2）存在，N为PM的中点 【解析】 （1）取AD的中点E，连接PE， CD AB， ， ， ， ， ∴∠DBA=45°， ， ∴AD2+BD2=AB2， ∴AD⊥BD， ∴PA=PD，E是AD的中点， ∴PE⊥AD ∵平面PAD⊥半面ABCD，平面 平面ABCD=AD， 半面PAD，PE⊥AD， ∴PE⊥平面ABCD， 平面ABCD， ∴PE⊥BD 又 平面PAD， 平面PAD， ∴BD⊥平面PAD，又 平面PAD ∴BD⊥PA. （2）延长BC，AD，设BC的延长线和AD的延长线交点为M，连接PM， 则平面PAD和平面PBC的交线l为直线PM， 以B为原点，以BM､BA､平面ABCD的过点B的垂线为坐标轴建立空间直角坐标系B-xyz， 则 ， ， 设 ， 则 ， 设平面PCD的法向量为 ，则 ， ， 即 令 可得 ， 设平面CDN的法向量为 ，则 ， ， 即 ， 令 可得 ， EMBED Equation.DSMT4 ， 若二面角P-DC-N的余弦值 ， 则 解得： 或 ， 令 可得 ，解得 ， 故当 时，二面角P-DC-N为锐二面角， 当 时