专题11 数列解答题-2022年新高考数学模拟题分项汇编(第四期)

专题11 数列解答题 1．（2021·河北大名一中高三月考）已知数列 满足 ，且 . （1）求证：数列 是等差数列； （2）记 ，数列 的前n项和为 . 【答案】 （1）证明见解析 （2）①当n为奇数时， ；②当n为偶数时， . 【解析】 （1） ， ，即 ， 数列 是以 为公差的等差数列. （2）由（1）可知数列 是以 为公差的等差数列，且 ， ， ， ①当n为奇数时， ②当n为偶数时， 2．（2021·河北唐山一中高三期中） 为等差数列 的前 项和，且 ， ，记 ，其中 表示不超过 的最大整数，如 ， . （1）求 ， ， ； （2）求数列 的前 项和. 【答案】 （1） ， ， （2） 【解析】 （1）由题意得可得： ，所以 ， 所以 ， 所以 ，所以 ， ， . （2）由（1）知： ， 当 时， ， 当 时， ， ， 当 时， ， ， 当 时， ， ， 所以 . 3．（2021·河北衡水中学高三月考）对于正项数列 ，定义 为数列 的“匀称”值. （1）若数列 的“匀称”值 ，求数列 的通项公式； （2）若数列 的“匀称”值 ，设 ，求数列 的前 项和 及 的最小值. 【答案】（1） ；（2） ， . 【解析】 （1）当 时，由 得 当 时， 当 时， 即 ，检验 时， 成立 EMBED Equation.DSMT4 ； （2）当 时，由 得 当 时， 当 时， 即 ，检验 时， 成立 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 当 为奇数时， 当 为偶数时， EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 令 ，则 所以数列 为递增数列，即数列 为递增数列 当 时， 4．（2021·福建福州三中高三月考）已知数列 的前n项和为 ，且 EMBED Equation.DSMT4 ． （1）求数列 的通项公式； （2）若 ，求数列 的前n项和 ． 【答案】（1） EMBED Equation.DSMT4 ；（2） EMBED Equation.DSMT4 ． 【解析】 （1）当 时， ，解得 ， 当 时， ，则 ，即 ， 又 ，则 ， ∴ （常数），故 是以 为首项，以3为公比的等比数列， ∴数列 的通项公式为 EMBED Equation.DSMT4 ． （2）由（1）可得： ， ∴ ， 设 ，则 ∴ EMBED Equation.DSMT4 ， ∴ ，又 ， ∴ EMBED Equation.DSMT4 5．（2021·福建·福清西山学校高三期中）已知数列 满足 ， . （1）求数列 的通项公式； （2）设 ，求数列 前n项和 . 【答案】 （1） （2） EMBED Equation.DSMT4 【解析】 （1）当 时， ； 由已知得 ， 于是 ， 即 ， 又 也满足上式， 所以 . （2）由（1）知 ， 而 当n为奇数时， ， 当n为偶数时， . 综上， EMBED Equation.DSMT4 . 6．（2021·山东滕州一中高三期中）在数列 中， 且 成等差数列. （1）求 ； （2）求 的和. 【答案】 （1） ， ， （2） 【解析】 （1）由于 成等差数列，所以 ， ， 所以 . （2） ①， ②， 两式相减得 ， 所以数列 是首项为 ，公差为 的等差数列. 所以 EMBED Equation.DSMT4 7．（2021·山东昌乐二中高三月考）已知公差不为零的等差数列 的前四项和为10，且 ， ， 成等比数列. （1）求数列 通项公式； （2）设 ，求数列 的前 项和 . 【答案】 （1） （2） 【解析】 （1）由题意知 ， 解得 ， ，或 ， （舍去）， 所以 . （2） ，将这个数列分为两部分，一部分是等差数列，一部分是等比数列，根据等差数列和等比数列求和公式得到： . 8．（2021·湖南永州·高三月考）已知数列 满足 ， . （1）求 ； （2）记 ，证明：数列 为等比数列. 【答案】（1）6；（2）详见解析. 【解析】 （1）因为已知数列 ，满足 ， . 所以 ， ， ； （2） ， ， 所以 ， ， ， 猜想数列 是以4为首项，以2为公比的等比数列， 证明如下： ， ， ， ， 所以数列 是以4为首项，以2为公比的等比数列. 9．（2021·湖南郴州一中高三月考）设数列 的前 项和为 ，且 ， . （1）求数列 的通项公式； （2）设 ，求数列 的前 项的和 . 【答案】（1） ；（2） . 【解析】（1）法一：∵ ，∴ ， 两式相减得