必考点05 直角三角形边角关系-【对点变式题】2021-2022学年九年级数学上学期期中期末必考题精准练（北师大版）

必考点05 直角三角形边角关系 题型一： 根据定义求三角函数值 【例1】（2021春•萧山区月考）Rt△ABC在中，若ABAC，则cosB＝　 ． 【分析】分AB为斜边、AB为直角边两种情况，根据勾股定理和余弦的定义计算即可． 【解答】解：设AC＝x，则ABx， 当AB为斜边时，BCx， 则cosB； 当AB为直角边时，BC2x， 则cosB； 综上所述，cosB的值为或． 题型二：利用余角转换求三角函数值 【例2】（2021•东莞市校级一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD垂直于AB，tan∠DCB，AC＝12，则BC＝　 　． 【分析】根据直角三角形的性质、同角的余角相等得到∠BCD＝∠A，根据正切的定义计算即可 【解答】解：∵∠ACB＝90°， ∴∠A+∠B＝90° ∵CD⊥AB， ∴∠BCD+∠B＝90°， ∴∠BCD＝∠A， 在Rt△ACB中， ∵tanA＝tan∠BCD， ∴BCAC12＝9． 故答案为9． 题型三：构造直角求三角函数值 【例3】（2020•大庆模拟）如图，延长RT△ABC斜边AB到点D，使BD＝AB，连接CD，若tan∠BCD，则tanA＝（　　） A． B．1 C． D． 【分析】若想利用tan∠BCD的值，应把∠BCD放在直角三角形中，也就得到了Rt△ACD的中位线，可分别得到所求的角的正切值相关的线段的比． 【解答】解：过B作BE∥AC交CD于E． ∵AC⊥BC， ∴BE⊥BC，∠CBE＝90°． ∴BE∥AC． ∵AB＝BD， ∴AC＝2BE． 又∵tan∠BCD，设BE＝x，则AC＝2x， ∴tanA， 故选：A． 题型四：利用增减性判断三角函数的取值范围 【例4】（2021秋•綦江区校级月考）如果30°＜∠A＜45°，那么sinA的范围是（　　） A．0＜sinA B．sinA C．sinA D．sinA＜1 【分析】由sinα随锐角α的增大而增大且30°＜∠A＜45°，结合特殊锐角的三角函数值可得答案． 【解答】解：∵sinα随锐角α的增大而增大，且30°＜∠A＜45°， ∴sinA， 故选：B． 题型五：利用特殊角求三角函数值 【例5】（2020秋•济宁期末）在△ABC中，∠C，∠B为锐角，且满足|sinC|+（cosB）2＝0，则∠A的度数为（　　） A．100° B．105° C．90° D．60° 【分析】直接利用特殊角的三角函数值结合非负数的性质得出答案． 【解答】解：∵|sinC|+（cosB）2＝0， ∴sinC，cosB， ∴∠C＝45°，∠B＝30°， ∴∠A的度数为：180°﹣45°﹣30°＝105°． 故选：B． 题型六：三角函数在等腰直角三角形中的应用 【例6】（2020•道里区一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，以BC为斜边作等腰直角三角形BCD，E是△BCD内一点，连接BE和EC，BE＝AB，∠BEC∠BAC＝180°．若EC＝1，tan∠ABC，则线段BD的长是　 　． 【分析】连接AD，并延长DA到G，使得AG＝EG＝1，连接BG，证明△ABG≌△EBC（SAS），得BG＝BC，再设BFx，在Rt△BGF中，用勾股定理列出x的方程，求得x便可求得BD． 【解答】解：连接AD，并延长DA到G，使得AG＝EC＝1，连接BG， ∵AB＝AC，BD＝CD，AD＝AD， ∴△ABD≌△ACD（SSS）， ∴∠BAD＝∠CAD， ∴AD⊥BC，BF＝CF，∠BAF∠BAC， ∵∠BEC∠BAC＝180°，∠BAD+∠BAG＝180°， ∴∠BAG＝∠BEC， ∵BA＝BE， ∴△ABG≌△EBC（SAS）， ∴BG＝BC， ∵tan∠ABC， ∴设BFx，则AF＝2x，BG＝BC＝2x， ∵BG2＝BF2+FG2， ∴， 解得，x＝1，或x＝﹣0.2（舍去）， ∴BF， ∴BDBF． 故答案为：． 题型七：可直接解直角三角形（网格问题） 【例7】（2021•碑林区校级模拟）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，连接AB、AC，则sin∠BAC的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】利用勾股定理的逆定理先判定△ABC为直角三角形，再利用正弦的定义可求结论． 【解答】解：连接BC， ∵AC2＝42+22＝20， AB2＝32+42＝25， BC2＝12+22＝5， ∴AC2+BC2＝AB2． ∴∠ACB＝90°． ∴sin∠BAC． 故选：B． 题型八：不可直接解直角三角形（设元、借助方程） 【例8】（2021•苍溪县模拟）在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA．若D是AC上一点，且∠CBD＝∠A，则sin∠ABD的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】过点D作DE