山西大学附属中学校2021-2022学年高三上学期期中考试数学理科试题

山大附中2021~2022学年第一学期期中考试 高三年级数学（理科）参考答案 1、 单选题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D D C C D A C D B D D A 二、填空题 13：【答案】 14．【答案】 15．【答案】①③④ 16．【答案】 三．解答题 17．下图的茎叶图记录了甲，乙两组各八位同学在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）.已知甲组数据的中位数为24，乙组数据的平均数为25. （1）求x，y的值； （2）计算甲、乙两组数据的方差，并比较哪一组的成绩更稳定？ 【详解】 （1）由，得， 由，得．…………5分 （2）设甲、乙两组数据的方差分别为、， 甲组数据的平均数为， ，， 因为，所以乙组的成绩更稳定．…………12分 18．如图，在四棱锥中，平面平面，，，是边长为的等边三角形，是以为斜边的等腰直角三角形. （1）证明：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【分析】 （1）利用面面垂直的性质定理可得出平面，可得出，再由已知条件结合线面垂直的判定定理可得出平面，利用面面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）证明出平面，，然后以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值. 【详解】 （1）因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面， 平面，所以. 又因为，，所以平面. 因为平面，所以平面平面；…………6分 （2）取的中点，连接、， 因为，所以. 又因为平面，平面平面，平面平面， 所以平面. 因为平面，所以. 因为，所以. 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系， 由题意得、、、、， 所以，，. 设平面的法向量为，则，即， 令，则，，所以. 所以，， 则直线与平面所成角的正弦值为.…………12分 19．已知等比数列的前项和为，且，数列满足，其中. （1）分别求数列和的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 【详解】 （1）设等比数列的公比为， 由已知， 可得， 两式相减可得， 即，整理得，可知， 已知，令，得， 即，解得， 故等比数列的通项公式为； 由得： ， 那么， 以上个式子相乘， 可得， ，又满足上式， 所以的通项公式.…………6分 （2）若， 所以， ， 两式相减得： ， 所以.…………12分 20．如图所示，已知椭圆的两焦点分别为，，为椭圆上一点，且+. （1）求椭圆的标准方程； （2）若点在第二象限，，求的面积. 【详解】 （1）设椭圆的标准方程为，焦距为， 因为椭圆的两焦点分别为，，可得，， 所以，可得，所以， 则， 所以椭圆的标准方程为．…………6分 （2）因为点在第二象限，， 在中，由． 根据余弦定理得， 即，解得， 所以．…………12分 21．已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）求函数的单调区间与极值. （3）若对任意的，都有恒成立，求a的取值范围. 【详解】 （1）当时，，， ∴，∴， 切点为， ∴曲线在点处的切线方程为，即；…………4分 （2）， ①当时，恒成立， ∴函数的递增区间为，无递减区间，无极值； ②当时，令，解得或（舍） x，，的变化情况如下表： x － 0 ＋ 极小值 ∴函数的递增区间为，递减区间为，. 综上：当时，函数的递增区间为，无递减区间，无极值；当时，函数的递增区间为，递减区间为，.…………8分 （3）对任意的，使恒成立，只需对任意的，. 所以由（2）的结论可知， ①当时，函数在上是增函数， ∴，∴满足题意； ②当时，，函数在上是增函数， ∴，∴满足题意； ③当时，，函数在上是减函数，在上是增函数， ∴， ∴不满足题意. 综上，a的取值范围为.…………12分 22． 在平面直角坐标系中，倾斜角为的直线的参数方程为（t为参数） ．以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是． （1）写出直线的普通方程和曲线的直角坐标方程； （2）若点的极坐标为，直线经过点且与曲线相交于，两点，求，两点间的距离的值．． 【详解】 （1）由参数方程可得，消去参数可得直线的普通方程为：，即； 即， 转化为直角坐标方程可得曲线的直角坐标方程为；…………5分 （2）∵的极坐标为，∴点的直角坐标为． ∴，直线的倾斜角． ∴直线的参数方程为． 代入，得． 设，两点对应的参数为，，则， ∴．…………10分 23．已知函数. （1）若，解不等式； （2）若，且的最小值为，求证：. 【详解】 解：（1）当时，函数 ①当时，由得，所以无解 ②当时，由得，所以； ③当时，由得，所以. 综上，不等式的解集