第5.3.2讲 函数的极值与最大（小）值-2021-2022学年高二数学链接教材精准变式练（人教A版2019选择性必修第二册）

第5.3.2讲 函数的极值与最大（小）值 教材知识链接 1.函数的极值与导数 条件 f′(x0)＝0 x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0 x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0 图象 形如山峰 形如山谷 极值 f(x0)为极大值 f(x0)为极小值 极值点 x0为极大值点 x0为极小值点 2.函数的最值与导数 (1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值. (2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值. (3)求可导函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下： ①求f(x)在(a，b)内的极值； ②将f(x)的各极值与f(a)，f(b)进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 考点一　利用导数解决函数的极值问题　多维探究 角度1　根据函数图象判断函数极值 【例1－1】 已知函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是(　　) A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1) B.函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1) C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2) D.函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2) 解析　由题图可知，当x<－2时，f′(x)>0；当－2<x<1时，f′(x)<0；当1<x<2时，f′(x)<0；当x>2时，f′(x)>0.由此可以得到函数f(x)在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值. 答案　D 规律方法　由图象判断函数y＝f(x)的极值，要抓住两点：(1)由y＝f′(x)的图象与x轴的交点，可得函数y＝f(x)的可能极值点；(2)由导函数y＝f′(x)的图象可以看出y＝f′(x)的值的正负，从而可得函数y＝f(x)的单调性.两者结合可得极值点. 角度2　已知函数求极值 【例1－2】 已知函数f(x)＝ln x－ax(a∈R). (1)当a＝时，求f(x)的极值； (2)讨论函数f(x)在定义域内极值点的个数. 解　(1)当a＝时，f(x)＝ln x－x，函数的定义域为(0，＋∞)且f′(x)＝－＝， 令f′(x)＝0，得x＝2， 于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表. x (0，2) 2 (2，＋∞) f′(x) ＋ 0 － f(x) ln 2－1 故f(x)在定义域上的极大值为f(x)极大值＝f(2)＝ln 2－1，无极小值. (2)由(1)知，函数的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝－a＝(x>0). 当a≤0时，f′(x)>0在(0，＋∞)上恒成立， 即函数在(0，＋∞)上单调递增，此时函数在定义域上无极值点； 当a>0时，当x∈时，f′(x)>0， 当x∈时，f′(x)<0， 故函数在x＝处有极大值. 综上可知，当a≤0时，函数f(x)无极值点， 当a>0时，函数y＝f(x)有一个极大值点，且为x＝. 规律方法　运用导数求可导函数y＝f(x)的极值的一般步骤：(1)先求函数y＝f(x)的定义域，再求其导数f′(x)；(2)求方程f′(x)＝0的根；(3)检查导数f′(x)在方程根的左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值.特别注意：导数为零的点不一定是极值点. 角度3　已知函数的极(最)值求参数的取值 【例1－3】 已知函数f(x)＝ln x. (1)求f(x)图象的过点P(0，－1)的切线方程； (2)若函数g(x)＝f(x)－mx＋存在两个极值点x1，x2，求m的取值范围. 解　(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝. 设切点坐标为(x0，ln x0)，则切线方程为y＝x＋ln x0－1. 把点P(0，－1)代入切线方程，得ln x0＝0，∴x0＝1. ∴过点P(0，－1)的切线方程为y＝x－1. (2)因为g(x)＝f(x)－mx＋＝ln x－mx＋(x>0)， 所以g′(x)＝－m－＝＝－， 令h(x)＝mx2－x＋m， 要使g(x)存在两个极值点x1，x2， 则方程mx2－x＋m＝0有两个不相等的正数根x1，x2. 故只需满足即可，解得0<m<. 规律方法　已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意：(1)根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解；(2)因为导数值等于0不是此点为极值点的充要条件，所以用待定系数法求解后必须检验. 【训练1】 (1)若x＝－2是函数f(x)＝(x2＋a