第5.3.1讲 函数的单调性-2021-2022学年高二数学链接教材精准变式练（人教A版2019选择性必修第二册）

第5.3.1讲 函数的单调性 教材知识链接 1.函数的单调性与导数的关系 函数y＝f(x)在某个区间内可导，则： (1)若f′(x)>0，则f(x)在这个区间内单调递增； (2)若f′(x)<0，则f(x)在这个区间内单调递减； (3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数. 考点一　求函数的单调区间 【例1】 已知函数f(x)＝ax3＋x2(a∈R)在x＝－处取得极值. (1)确定a的值； (2)若g(x)＝f(x)ex，求函数g(x)的单调减区间. 解　(1)对f(x)求导得f′(x)＝3ax2＋2x， 因为f(x)在x＝－处取得极值，所以f′＝0， 即3a·＋2·＝－＝0，解得a＝. (2)由(1)得g(x)＝ex， 故g′(x)＝x(x＋1)(x＋4)ex. 令g′(x)<0，即x(x＋1)(x＋4)<0， 解得－1<x<0或x<－4， 所以g(x)的单调减区间为(－1，0)，(－∞，－4). 规律方法　1.求函数单调区间的步骤： (1)确定函数f(x)的定义域；(2)求f′(x)；(3)在定义域内解不等式f′(x)>0，得单调递增区间；(4)在定义域内解不等式f′(x)<0，得单调递减区间. 2.若所求函数的单调区间不止一个时，用“，”与“和”连接. 【训练1】 (1)已知函数f(x)＝xln x，则f(x)(　　) A.在(0，＋∞)上递增 B.在(0，＋∞)上递减 C.在上递增 D.在上递减 (2)已知定义在区间(－π，π)上的函数f(x)＝xsin x＋cos x，则f(x)的单调递增区间为________. 考点二　讨论函数的单调性 【例2】 已知函数f(x)＝ex(ex－a)－a2x，其中参数a≤0. (1)讨论f(x)的单调性； (2)若f(x)≥0，求a的取值范围. 解　(1)函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，且a≤0. f′(x)＝2e2x－aex－a2＝(2ex＋a)(ex－a). ①若a＝0，则f(x)＝e2x，在(－∞，＋∞)上单调递增. ②若a<0，则由f′(x)＝0，得x＝ln . 当x∈时，f′(x)<0； 当x∈时，f′(x)>0. 故f(x)在上单调递减， 在区间上单调递增. (2)①当a＝0时，f(x)＝e2x≥0恒成立. ②若a<0，则由(1)得，当x＝ln时，f(x)取得最小值，最小值为f＝a2， 故当且仅当a2≥0， 即0>a≥－2e时，f(x)≥0. 综上，a的取值范围是[－2e，0]. 规律方法　1.(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论. (2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点. 2.个别导数为0的点不影响所在区间的单调性，如f(x)＝x3，f′(x)＝3x2≥0(f′(x)＝0在x＝0时取到)，f(x)在R上是增函数. 【训练2】 已知f(x)＝－aln x，a∈R，求f(x)的单调区间. 考点三　函数单调性的简单应用　多维探究 角度1　比较大小或解不等式 【例3－1】 (1)已知函数y＝f(x)对于任意的x∈满足f′(x)cos x＋f(x)sin x＝1＋ln x，其中f′(x)是函数f(x)的导函数，则下列不等式成立的是(　　) A.f<f B.f>f C.f>f D.f>f (2)已知函数f′(x)是函数f(x)的导函数，f(1)＝，对任意实数都有f(x)－f′(x)>0，设F(x)＝，则不等式F(x)<的解集为(　　) A.(－∞，1) B.(1，＋∞) C.(1，e) D.(e，＋∞) 解析　(1)令g(x)＝，则g′(x)＝＝.由解得<x<；由解得0<x<.所以函数g(x)在上单调递减，在上单调递增， 又>，所以g>g，所以>， 即f>f. (2)F′(x)＝＝， 又f(x)－f′(x)>0，知F′(x)<0， ∴F(x)在R上单调递减. 由F(x)<＝F(1)，得x>1， 所以不等式F(x)<的解集为(1，＋∞). 答案　(1)B　(2)B 角度2　根据函数单调性求参数 【例3－2】 (2019·日照质检)已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝ax2＋2x. (1)若函数h(x)＝f(x)－g(x)存在单调递减区间，求实数a的取值范围； (2)若函数h(x)＝f(x)－g(x)在[1，4]上单调递减，求实数a的取值范围. 解　h(x)＝ln x－ax2－2x，x>0. ∴h′(x)＝－ax－2. (1)若函数h(x)在(0，＋∞)上存在单调减区间， 则当x>0时，－ax－2<0有解，即a>－有解. 设G(x)＝－，所以只要a>G(x)min. 又G(x)＝－1，所以G(x)min＝－1. 所以a>－1.即实数a的取值范围是(－1，＋∞