4.1数列的概念-讲义（知识点+考点+练习）-2021-2022学年人教A版（2019）高中数学选择性必修第二册（教师版+学生版）

4.1数列的概念 一、数列的概念与分类 1．一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号a1表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用a2表示……，第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用an表示．其中第1项也叫做首项． 2. 数列的一般形式是a1，a2，a3，…，an，…，简记为{an}． 3. 分类标准 名称 含义 按项的 个数 有穷数列 项数有限的数列 无穷数列 项数无限的数列 按项的 变化 趋势 递增数列 从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列 递减数列 从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列 常数列 各项都相等的数列 周期数列 项呈现周期性变化 摆动数列 从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项 注意点：(1)如果组成两个数列的数相同，但顺序不同，它们是不同的数列；(2)同一个数可以在数列中重复出现；(3){an}表示一个数列，an表示数列中的第n项． (1)判断数列是何种数列一定严格按照定义进行判断． (2)判断数列的单调性时一定要确保每一项均大于(或均小于)后一项，不能有例外． 二、数列的通项公式 如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式． 注意点：(1)并不是所有的数列都有通项公式；(2)有些数列的通项公式，表达形式不唯一． 根据数列的前几项求通项公式的解题思路 (1)先统一项的结构，如都化成分数、根式等． (2)分析结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的规律与对应序号间的函数解析式． (3)对于正负交替出现的情况，可先观察其绝对值，再用(－1)n或(－1)n＋1处理符号． (4)对于周期数列，可考虑拆成几个简单数列之和的形式，或者利用周期函数，如三角函数等． 三、数列与函数的关系 通项公式就是数列的函数解析式，以前我们学过的函数的自变量通常是连续变化的，而数列是自变量为离散的数的函数． 注意点：(1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集N*(或它的有限子集)为定义域的函数表达式．(2)数列还可以用列表法、图象法表示． 四、数列通项公式的简单应用 (1)利用数列的通项公式求某项的方法 数列的通项公式给出了第n项an与它的位置序号n之间的关系，只要用序号代替公式中的n，就可以求出数列的相应项． (2)判断某数值是否为该数列的项的方法 先假定它是数列中的第n项，然后列出关于n的方程．若方程的解为正整数，则是数列的一项；若方程无解或解不是正整数，则不是该数列的一项． 五、数列的递推公式 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式． 六、由递推公式求通项公式 由递推公式求通项公式的常用方法 (1)归纳法：根据数列的某项和递推公式，求出数列的前几项，归纳出通项公式． (2)迭代法、累加法或累乘法，递推公式对应的有以下几类： ①an＋1－an＝常数，或an＋1－an＝f(n)(f(n)是可以求和的)，使用累加法或迭代法； ②an＋1＝pan(p为非零常数)，或an＋1＝f(n)an(f(n)是可以求积的)，使用累乘法或迭代法； ③an＋1＝pan＋q(p，q为非零常数)，适当变形后转化为第②类解决． 七、an与Sn的关系 1．把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an. 2．an＝ 考点一 根据通项求项 【例1】(2020·宜宾市南溪区第二中学校)已知数列，则数列的第4项为( ) A． B． C． D． 【练1】(2020·浙江鄞州·宁波诺丁汉附中高一期中)已知数列的通项公式是，则等于( ) A．70 B．28 C．20 D．8 考点二 根据项写通项公式 【例2】(2020·邵东县第一中学月考)数列的一个通项公式为( ) A． B． C． D． 【练2】(2020·江西高一月考)数列，…的一个通项公式为( ) A． B． C． D． 考点三 根据递推公式求项 【例3】(2020·湖南省长沙县第九中学期末)数列满足，(为正整数，)，则( ) A．43 B．28 C．16 D．7 【练3】(2020·眉山市东坡区多悦高级中学校高一期中)在数列中，已知，，，则等于( ) A． B． C．4 D．5 考点四 公式法求通项 【例4】(2020·广东广州·期末)已知数列{an}的前项和为，，则数列的通项公式为_____________ 【练4】 (2019·云南东川明月中学高一期中)数列的前项和,则的通项公式 _____. 考点五 斐波那