5.1导数的概念及其意义-讲义（知识点+考点+练习）-2021-2022学年人教A版（2019）高中数学选择性必修第二册（教师版+学生版）

5.1导数的概念及其意义 一、平均速度 求物体运动的平均速度的主要步骤 (1)先计算位移的改变量s(t2)－s(t1)， (2)再计算时间的改变量t2－t1， (3)得平均速度＝. 二、瞬时速度 1．瞬时速度：物体在某一时刻的速度称为瞬时速度． 2．瞬时速度的计算：设物体运动的时间与位移的函数关系式为y＝h(t)，则物体在t0时刻的瞬时速度为 . 3．瞬时速度与平均速度的关系：从物理角度看，当时间间隔|Δt|无限趋近于0时，平均速度就无限趋近于t＝t0时的瞬时速度． 注意点：Δt可正，可负，但不能为0. 反思感悟　求运动物体瞬时速度的三个步骤 (1)求位移改变量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)． (2)求平均速度＝. (3)求瞬时速度，当Δt无限趋近于0时，无限趋近于的常数v即为瞬时速度，即v＝ . 三、抛物线的切线的斜率 1．切线：设P0是曲线上一定点，P是曲线上的动点，当点P无限趋近于点P0时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线P0T称为曲线在点P0处的切线． 2．切线的斜率：设P0(x0，y0)是曲线y＝f(x)上一点，则曲线y＝f(x)在点P0(x0，y0)处的切线的斜率为k0＝ . 3．切线的斜率与割线的斜率的关系：从几何图形上看，当横坐标间隔|Δx|无限变小时，点P无限趋近于点P0，于是割线PP0无限趋近于点P0处的切线P0T，这时，割线PP0的斜率k无限趋近于点P0处的切线P0T的斜率k0. 注意点：极限的几何意义：曲线y＝f(x)在x＝x0处的切线斜率． 四、导数的概念 1．平均变化率 对于函数y＝f(x)，设自变量x从x0变化到x0＋Δx，相应地，函数值y就从f(x0)变化到f(x0＋Δx)．这时，x的变化量为Δx，y的变化量为Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)．我们把比值，即＝叫做函数y＝f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率． 2．导数 如果当Δx→0时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称y＝f(x)在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x0处的导数(也称为瞬时变化率)，记作f′(x0)或，即f′(x0)＝ ＝ . 注意点：(1)曲线切线的斜率即函数y＝f(x)在x＝x0处的导数；(2)瞬时变化率、曲线切线的斜率、函数在该点的导数，三者等价． 五、导数定义的直接应用 反思感悟　用导数定义求函数在某一点处的导数的步骤 (1)求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)． (2)求平均变化率＝. (3)求极限 . 六、导数在实际问题中的意义 反思感悟　导数的物理意义是：函数y＝f(x)在x＝x0处的导数即为它的瞬时变化率． 导函数的定义 从求函数f(x)在x＝x0处导数的过程可以看出，当x＝x0时，f′(x0)是一个唯一确定的数．这样，当x变化时，y＝f′(x)就是x的函数，我们称它为y＝f(x)的导函数(简称导数)．y＝f(x)的导函数记作f′(x)或y′，即f′(x)＝y′＝ . 注意点：(1)f′(x0)是具体的值，是数值．(2)f′(x)是函数，f(x)在某区间I上每一点都存在导数而定义的一个新函数，是函数． 考点一 平均速率 【例1】．(2020·江苏张家港·高二期中)函数在[0，π]上的平均变化率为( ) A．1 B．2 C．π D． 【练1】函数f(x)＝x2在x0到x0＋Δx之间的平均变化率为k1，在x0－Δx到x0之间的平均变化率为k2，则k1，k2的大小关系是(　　) A．k1＜k2 B．k1＞k2 C．k1＝k2 D．无法确定 考点二 导数的概念 【例2】(2020·扶风县法门高中高二月考(理))一个物体的位移s关于时间t的运动方程为s=1－t+t2，其中s的单位是：m，t的单位是：s，那么物体在t=3 s时的瞬时速度是 A．5 m／s B．6 m／s C．7 m／s D．8 m／s 【练2】(2020·四川高二期中(理))如果一个物体的运动方程为，其中的单位是千米，的单位是小时，那么物体在4小时末的瞬时速度是( ) A．12千米/小时 B．24千米/小时 C．48千米/小时 D．64千米/小时 考点三 导数的计算 【例3】(2020·河南)设点P是函数图象上的任意一点，点P处切线的倾斜角为，则角的取值范围是( ) A． B． C． D． 【练3】(2020·陕西省丹凤中学高三一模(理))点P在曲线上移动，设点P处切线的倾斜角为，则角的范围是( ) A． B． C． D． 课后练习 1. （2021高二下·天津期中）某厂家生产的新能源汽车的紧急刹车装置在遇到特别情况时需在2s内完成刹车，其位移h(单位：m)关于时间：(单位：s)的函数关系式为 ，则 的实际意义是（    ） A. 汽