5.2导数的运算-讲义（知识点+考点+练习）-2021-2022学年人教A版（2019）高中数学选择性必修第二册（教师版+学生版）

5.2导数的运算 一、基本初等函数的求导公式 基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0 f(x)＝xα，(α∈Q，且α≠0) f′(x)＝αxα－1 f(x)＝sin x f′(x)＝cos x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin x f(x)＝ax(a>0且a≠1) f′(x)＝axln a f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝logax(a>0，且a≠1) f′(x)＝ f(x)＝ln x f′(x)＝ 注意点：对于根式f(x)＝，要先转化为f(x)＝，所以f′(x)＝. 二、导数公式的应用 由导数的定义可知，导数是瞬时变化率，所以求某个量的变化速度，就是求相关函数在某点处的导数． 三、利用导数研究曲线的切线方程 (1)利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况 ①若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数； ②若已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解． (2)求过点P与曲线相切的直线方程的三个步骤 四 f(x)±g(x)的导数 两个函数和或差的导数：[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)． 注意点：推广[f1(x)±f2(x)±…±fn(x)]′＝f1′(x)±f2′(x)±…±fn′(x)． 反思感悟　两个函数和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差)，对于每一项分别利用导数的运算法则即可． 五f(x)g(x)和的导数 1．[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)，特别地，[cf(x)]′＝cf′(x)． 2.′＝(g(x)≠0)． 注意点：注意两个函数的乘积和商的导数的结构形式． 六 导数四则运算法则的应用 反思感悟　(1)此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素，其他的条件可以进行转化，从而转化为这三个要素间的关系． (2)准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步，也是解题的关键，务必做到准确． (3)分清“在某点”和“过某点”导数的不同． 七 复合函数概念的理解 复合函数的概念 一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))． 注意点：内、外层函数通常为基本初等函数． 八 求复合函数的导数 复合函数的求导法则 一般地，对于由函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积． 注意点：(1)中间变量的选择应是基本初等函数的结构；(2)求导由外向内，并保持对外层函数求导时，内层不变的原则；(3)求每层函数的导数时，注意分清是对哪个变量求导． 九 复合函数的导数的应用 将复合函数的求导与导数的实际意义结合，函数在某点处的导数反映了函数在该点的瞬时变化率，体现导数揭示物体在某时刻的变化状况． 考点一 初等函数求导 【例1】(2020·西藏高二期末(文))求下列函数的导数. (1)； (2)； (3). 【练1】(2018·全国高二课时练习)求函数在下列各点处的导数． (1)； (2)； (3)． 考点二 复合函数求导 【例2】．(2020·凤阳县第二中学高二期末(理))求下列函数的导数： (1)；(2). 【练2】(2020·宁县第二中学高二期中(理))求下列函数的导数： (1) (2) 考点三 求导数值 【例3】．(2020·甘肃城关·兰州一中高二期中(理))已知函数的导函数为，且满足，则 A． B． C． D． 【练3】(2020·四川高二期中(理))已知，则( ) A． B． C． D． 考点四 求切线方程 【例4】(2020·黑龙江大庆实验中学高三月考(文))曲线在点处的切线方程为 A． B． C． D． 【练4】(2020·湖南高二期末)曲线在点处的切线方程为______. 考点五 利用切线求参数 【例5】．(2020·全国高三其他(理))已知曲线在点处的切线方程为，则( ) A． B．0 C．1 D． 【练5】(2020·辽宁高二期末)已知函数，若，则实数的值为( ) A．2 B．1 C． D． 课后练习 1. （2021高二下·重庆期末）某物体的位移s(米)与时间t(秒)的关系为 ，则该物体在2秒末的瞬时速度是（    ） A. 12米/秒                               B. 10米/秒