6.3二项式定理 -讲义（知识点+考点+练习）-2021-2022学年人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册（教师版+学生版）

6．3二项式定理 一 二项式定理 二项式定理：(a＋b)n＝Can＋Can－1b1＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn，n∈N×． (1)这个公式叫做二项式定理． (2)展开式：右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，展开式中一共有n＋1项． (3)二项式系数：各项的系数C(k＝0，1，2，…，n)叫做二项式系数． (4)二项式通项：(a＋b)n展开式的第k＋1项叫做二项式通项，记作Tk＋1＝Can－kbk． 注意点： (1)每一项中a与b的指数和为n． (2)各项中a的指数从n起依次减小1，到0为止，各项中b的指数从0起依次增加1，到n为止． (3)a与b的位置不能交换． 二 二项式定理的逆用 逆用二项式定理可将多项式化简，对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数． 注意：逆用二项式定理时如果项的系数是正负相间的，则是(a－b)n的形式． 三 二项展开式的通项的应用 (1)求二项展开式的特定项的常见题型 ①求第k项，Tk＝Can－k＋1bk－1；②求含xk的项(或xpyq的项)；③求常数项；④求有理项． (2)求二项展开式的特定项的常用方法 ①对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)； ②对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数集，再根据数的整除性来求解； ③对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致． 四 杨辉三角 (1)在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等； (2)在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”的两个数相加，即C＝C＋C． 解决与杨辉三角有关问题的一般思路 (1)观察：对题目要横看、竖看、隔行看、连续看，多角度观察． (2)找规律：通过观察找出每一行的数之间，行与行之间的数据的规律． (3)将数据间的这种联系用数学式表达出来，使问题得解． 五 二项式系数的增减性与最大值 增减性与最大值：C＝＝C，即＝，所以当＞1，即k＜时，C随k的增加而增大；由对称性知，当k＞时，C随k的增加而减小．当n是偶数时，中间的一项取得最大值；当n是奇数时，中间的两项与相等，且同时取得最大值． 注意点： (1)当n为偶数时，中间项的二项式系数最大，有一项； (2)当n为奇数时，中间项的二项式系数最大，有两项． 求二项式系数的最大项，根据二项式系数的性质对(a＋b)n中的n进行讨论． (1)当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大； (2)当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大． 六 二项展开式的系数和问题 求展开式的各项系数之和常用赋值法 “赋值法”是求二项式系数常用的方法，根据题目要求，灵活赋给字母不同的值．一般地，要使展开式中项的关系变为系数的关系，令x＝0可得常数项，令x＝1可得所有项系数之和，令x＝－1可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差，而当二项展开式中含负值项时，令x＝－1则可得各项系数绝对值之和． 七 两个多项式乘积的特定项 求多项式积的特定项的方法——“双通法” 所谓的“双通法”是根据多项式与多项式的乘法法则得到，(a＋bx)n(s＋tx)m的展开式中一般项为Tk＋1·Tr＋1＝Can－k(bx)k·Csm－r(tx)r，再依据题目中对指数的特殊要求，确定r与k所满足的条件，进而求出r，k的取值情况． 八 系数的最值问题 求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式(组)、解不等式(组)的方法求解．一般地，如果第(k＋1)项的系数最大，则与之相邻两项第k项，第(k＋2)项的系数均不大于第(k＋1)项的系数，由此列不等式组可确定k的范围，再依据k∈N来确定k的值，即可求出最大项． 九 整除和余数问题 利用二项式定理可以解决求余数和整除的问题，通常需将底数化成两数的和或差的形式，且这种转化形式与除数有密切的关系． 考法一 二项式定理展开式 【例1】(2021·全国课时练习)化简多项式(2x＋1)5－5(2x＋1)4＋10(2x＋1)3－10(2x＋1)2＋5(2x＋1)－1的结果是(　　) A．(2x＋2)5 B．2x5 C．(2x－1)5 D．32x5 【答案】D 【解析】依题意可知，多项式的每一项都可看作，故为的展开式，化简．故选D． 【练1】(2021·贵州黔东南苗族侗族自治州)计算等于( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】原式可变为(＋)－＝选项D． 考法二 二项式指定项的系数与二项式系数 【例2】(2020·北京市鲁迅中学高二月考)二项式的展开式中的常数项是_______．(用数字作答) 【答案】60 【解析】有题意可得，二