7.4二项分布与超几何分布 -讲义（知识点+考点+练习）-2021-2022学年人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册（教师版+学生版）

7.4 二项分布与超几何分布 一 n重伯努利试验 1．n重伯努利试验：将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验． 2．n重伯努利试验的共同特征： (1)同一个伯努利试验重复做n次． (2)各次试验的结果相互独立． 注意点：在相同条件下，n重伯努利试验是有放回地抽样试验． 二 二项分布的推导 二项分布：一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n. 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)． 注意点： (1)由二项式定理可知，二项分布的所有概率和为1. (2)两点分布与二项分布的关系：两点分布是只进行一次的二项分布． n重伯努利试验概率求法的三个步骤 (1)判断：依据n重伯努利试验的特征，判断所给试验是否为n重伯努利试验． (2)分拆：判断所求事件是否需要分拆． (3)计算：就每个事件依据n重伯努利试验的概率公式求解，最后利用互斥事件概率加法公式计算． 三 二项分布的简单应用 利用二项分布求解“至多”“至少”问题的概率，其实质是求在某一范围内的概率，一般转化为几个互斥事件发生的概率的和，或者利用对立事件求概率． 四 二项分布的均值与方差 1．若X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)． 2．若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)． 解决此类问题第一步是判断随机变量X服从什么分布，第二步代入相应的公式求 五 二项分布的实际应用 二项分布的实际应用类问题的求解步骤 (1)根据题意设出随机变量； (2)分析随机变量服从二项分布； (3)求出参数n和p的值； (4)根据二项分布的均值、方差的计算公式求解． 六 二项分布的性质 二项分布概率最大问题的求解思路 七 超几何分布 超几何分布：一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品，从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为 P(X＝k)＝，k＝m，m＋1，m＋2，…，r. 其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}． 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布． 注意点： (1)在超几何分布的模型中，“任取n件”应理解为“不放回地一次取一件，连续取n件”． (2)超几何分布的特点：①不放回抽样；②考察对象分两类；③实质是古典概型． 八 超几何分布的概率 超几何分布的概率计算公式给出了求解这类问题的方法，可以直接运用公式求解，但是不能机械地记忆公式，要在理解公式意义的前提下进行记忆． 九、超几何分布的分布列 求超几何分布的分布列的步骤 十 超几何分布的均值 求超几何分布均值的步骤 (1)验证随机变量服从超几何分布，并确定参数N，M，n的值． (2)根据超几何分布的概率计算公式计算出随机变量取每一个值时的概率． (3)利用均值公式求解． 十一、二项分布与超几何分布的区别与联系 不放回抽样服从超几何分布，放回抽样服从二项分布，求均值可利用公式代入计算． 十二 超几何分布的综合应用 超几何分布常应用在产品合格问题、球盒取球(两色)问题、男女生选举问题等，这类问题有一个共同特征，就是对每一个个体而言，只研究其相对的两种性质而不涉及其他性质，如产品的合格与不合格、球的红色与非红色、学生的性别等． 考点一 二项分布 【例1】(2020·重庆市第七中学校高二月考)若随机变量，则( ) A．2 B．3 C．4 D．5 【练1】(2021·北京房山区·高二期末)已知某种药物对某种疾病的治愈率为，现有位患有该病的患者服用了这种药物，位患者是否会被治愈是相互独立的，则恰有位患者被治愈的概率为( ) A． B． C． D． 考点二 超几何分布 【例2】(2020·全国高二单元测试)现对某高校16名篮球运动员在多次训练比赛中的得分进行统计，将每位运动员的平均成绩所得数据用频率分布直方图表示如下．(如：落在区间[10，15)内的频率/组距为0.0125)规定分数在[10，20)，[20，30)，[30，40)上的运动员分别为三级篮球运动员、二级篮球运动员、一级篮球运动员，现从这批篮球运动员中利用分层抽样的方法选出16名运动员作为该高校的篮球运动员代表． (1)求a的值和选出篮球运动员代表中一级运动员的人数； (2)若从篮球运动员代表中选出三人，求其中含有一级运动员人数X的分布列； (3)若从该校篮球运动员中有放回地选三人，求其中含有一级运动员人数Y的期望． 【练2】(2020·辽宁沈阳市)在箱子中有10个小球，其中有3个红球，3个白球，4个黑球．从