7.5正态分布 -讲义（知识点+考点+练习）-2021-2022学年人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册（教师版+学生版）

7.5 正态分布 一 正态曲线及其性质 1．我们称f(x)＝ ，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数，为正态密度函数，称它的图象为正态密度曲线，简称正态曲线． 2．若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2)．特别地，当μ＝0，σ＝1时，称随机变量X服从标准正态分布． 3．若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝σ2. 4．正态曲线的特点： (1)非负性：对∀x∈R，f(x)>0，它的图象在x轴的上方． (2)定值性：曲线与x轴之间的面积为1. (3)对称性：曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称． (4)最大值：曲线在x＝μ处达到峰值. (5)当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴． (6)当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图①. (7)当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ较小时曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；σ较大时，曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图②. 5．正态分布的几何意义：若X～N(μ，σ2)，如图所示，X取值不超过x的概率P(X≤x)为图中区域A的面积，而P(a≤X≤b)为区域B的面积． 二 利用正态分布的性质求概率 正态总体在三个特殊区间内取值的概率值 P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682_7； P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954_5； P(u－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997_3. 三 正态分布的应用 解题时，应当注意零件尺寸应落在[μ－3σ，μ＋3σ]之内，否则可以认为该批产品不合格．判断的根据是小概率事件在一次试验中几乎是不可能发生的，而一旦发生了，就可以认为这批产品不合格． 考点一 正态分布的特征 【例1】(1)(2021·黑龙江鹤岗市·鹤岗一中高二期末(理))若随机变量，且，则等于( ) A． B． C． D． (2)(2021·黄石市有色第一中学高二期末)设随机变量服从正态分布，若，则实数等于( ) A． B． C． D． 【练1】(2021·江苏常州市·高三期末)设随机变量，函数没有零点的概率是，则( ) 附：若，则，. A． B． C． D． 考点二 正态分布的实际应用 【例2】(2021·安徽池州市)2020年新冠疫情以来，医用口罩成为防疫的必需品.根据国家质量监督检验标准，过滤率是生产医用口罩的重要参考标准，对于直径小于5微米的颗粒的过滤率必须大于90%.为了监控某条医用口罩生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取10个医用口置，检测其过滤率，依据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的医用口罩的过滤率服从正态分布.假设生产状态正常，生产出的每个口罩彼此独立.记表示一天内抽取10个口罩中过滤率小于或等于的数量. (1)求的概率； (2)求的数学期望； (3)一天内抽检的口罩中，如果出现了过滤率小于的口罩，就认为这条生产线在这一天的生产过程中可能出现了异常情况，需要对当天的生产过程进行检查维修，试问这种监控生产过程的方法合理吗？ 附：若随机变量，则，，，. 【练2】(2020·全国高三专题练习)标准的医用外科口罩分三层，外层有防水作用，可防止飞来进入口罩里面，中间层有过滤作用，对于直径小于5微米的颗粒阻隔率必须大于，近口鼻的内层可以吸湿，根据国家质量监督检验标准，过滤率是重要的参考标准，为了监控某条口罩生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取个口罩，并检验过滤率.根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的口罩的过滤率服从正态分布. (1)假设生产状态正常，记表示一天内抽取的个口罩中过滤率小于的数量，求及的数学期望； (2)下面是检验员在一天内抽取的10个口罩的过滤率： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0.9376 0.9121 0.9424 0.9572 0.9518 0.9058 0.9216 0.9171 0.9635 0.9268 经计算得：，(其中为抽取的第个口罩的过滤率)用样本平均数作为的估计值，用样本标准差作为的估计值，利用该正态分布，求(精确到) (附：若随机变量服从正态分布，则①；②；③；另：) 考点三 正态分布与其他知识的综合运用 【例3】(2021·内蒙古赤峰市)疫情防控期间，为了让大家有良好的卫生习惯某校组织了健康防护的知识测试(百分制)活动，活动结束后随机抽取了名学生的成绩，并计算得知这个学生的平均成绩为，其中个低分成绩分别是、、、、；而产生的个高分成绩分别是、、、、、、、、、． (1)为了评估该校的防控是否有效，以样本估计总体，将频率视为概率，若该校学生的测试得分近似满足正态分布(和分别为样本平均数和方差)，则认为防控有效，否则视为效果不佳．经过计算得知样本