1.2空间向量基本定理-讲义（知识点+考点+练习）-2021-2022学年人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册（教师版+学生版）

1.2空间向量基本定理 一、空间向量基本定理 1．空间向量的基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc. 2．基底：我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量． 注意点： (1)空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底．基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示；不同基底下，同一向量的表达式也有可能不同． (2)一个基底是一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念． (3)由于零向量与任意一个非零向量共线，与任意两个不共线的非零向量共面，所以若三个向量不共面，就说明它们都不是零向量． 二、空间向量的正交分解 1．单位正交基底：如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}表示． 2．正交分解：由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk，使a＝xi＋yj＋zk.像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量正交分解． 三、用基底表示空间向量 (1)若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及数乘向量的运算律； (2)若没给定基底，首先选择基底，选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角是否已知或易求． 四、证明平行、共面问题 1. 对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. 2. 如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. 3．直线平行和点共线都可以转化为向量共线问题；点线共面可以转化为向量共面问题． 五、夹角、垂直问题 如何利用空间向量解决空间几何中的垂直问题，以及求解夹角问题？ 提示　(1)θ为a，b的夹角，则cos θ＝. (2)若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0. 考点一 基底的判断 【例1】(2020·全国高二课时练习)在正方体中，可以作为空间向量的一组基底的是( ) A． B． C． D． 【练1】(2018·安徽六安一中高二期末(理))已知点为空间不共面的四点，且向量，向量，则与，不能构成空间基底的向量是( ) A． B． C． D．或 考点二 基底的运用 【例2】(2019·佛山市荣山中学高二期中)如图，平行六面体中，为的中点，，，，则( ) A． B． C． D． 【练2】(2020·天水市第一中学高二月考(理))如图，平行六面体中，与交于点，设，则 ( ) A． B． C． D． 考点三 基本定理的运用 【例3】(2019·济南市历城第二中学高二月考)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA的长为2，且PA与AB、AD的夹角都等于，是PC的中点， 设． (1)试用表示出向量； (2)求的长． 【练3】已知空间四边形OABC中，∠AOB＝∠BOC＝∠AOC，且OA＝OB＝OC，M，N分别是OA，BC的中点，G是MN的中点，求证：OG⊥BC． 课后练习 1. （2017高二上·安平期末）已知正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，点F是侧面CDD′C′的中心，若 = +x +y ，则x﹣y等于（   ） A. 0                                         B. 1                                         C.                                          D. ﹣ 2. （2019高二上·西安月考）若 为空间的一组基底，则下列各项中能构成基底的一组向量是（    ） A.      B.      C.      D.  3. 在以下三个命题中，真命题的个数是（    ）. ①若三个非零向量 ， ， 不能构成空间的一个基底，则 ， ， 共面；②若两个非零向量 ， 与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则 ， 共线；③若 ， 是两个不共线的向量，而 （ 且 ），则 构成空间的一个基底. A. 0                                           B. 1                                           C. 2                                           D. 3 4. （2018高二上·嘉兴期末）如图，在三棱锥 中 ，点D是棱