1.4空间向量的应用-讲义（知识点+考点+练习）-2021-2022学年人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册（教师版+学生版）

1.4 空间向量的应用 一、空间中点的向量和直线的向量表示 1．设A是直线上一点，a是直线l的方向向量，在直线l上取＝a，设P是直线l上任意一点， (1)点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使＝ta，即＝t. (2)取定空间中的任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t.使＝＋ta. (3)取定空间中的任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使＝＋t. 2．空间任意直线都可以由直线上一点及直线的方向向量唯一确定． 二、空间中平面的向量表示 1．如图，设两条直线相交于点O，它们的方向向量分别为a和b，P为平面α内任意一点，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对(x，y)，使得＝xa＋yb. 2．如图，取定空间任意一点O，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使＝＋x＋y.我们把这个式子称为空间平面ABC的向量表示式． 3.由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定． 如图，直线l⊥α，取直线l的方向向量a，我们称向量a为平面α的法向量．给定一个点A和一个向量a，那么过点A，且以向量a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合{P|a·＝0}． 三、求平面的法向量 求平面法向量的方法与步骤 (1)求平面ABC的法向量时，要选取平面内两不共线向量，如，； (2)设平面的法向量为n＝(x，y，z)； (3)联立方程组并求解； (4)所求出向量中的三个坐标不是具体的值而是比例关系，设定一个坐标为常数(常数不能为0)便可得到平面的一个法向量． 四、直线和直线平行 设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，则l1∥l2⇔u1∥u2⇔∃λ∈R，使得u1＝λu2. 注意点： (1)此处不考虑线线重合的情况． (2)证明线线平行的两种思路： ①用基向量表示出要证明的两条直线的方向向量，通过向量的线性运算，利用向量共线的充要条件证明． ②建立空间直角坐标系，通过坐标运算，利用向量平行的坐标表示． 利用向量证明线线平行的思路 证明线线平行只需证明两条直线的方向向量共线即可 五、直线和平面平行 设u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，l⊄α，则l∥α⇔u⊥n⇔u·n＝0. 注意点： (1)证明线面平行的关键看直线的方向向量与平面的法向量垂直． (2)特别强调直线在平面外． 利用空间向量证明线面平行一般有三种方法： (1)证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面，即可用平面内的一组基底表示． (2)证明直线的方向向量与平面内某一向量共线，转化为线线平行，利用线面平行判定定理得证． (3)先求直线的方向向量，然后求平面的法向量，证明直线的方向向量与平面的法向量垂直． 六、平面和平面平行 设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α∥β⇔n1∥n2⇔∃λ∈R，使得n1＝λn2. 证明面面平行问题的方法 (1)利用空间向量证明面面平行，通常是证明两平面的法向量平行． (2)将面面平行转化为线线平行然后用向量共线进行证明． 七、直线和直线垂直 设直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，则l1⊥l2⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0. (1)两直线垂直分为相交垂直和异面垂直，都可转化为两直线的方向向量相互垂直． (2)基向量法证明两直线垂直即证直线的方向向量相互垂直，坐标法证明两直线垂直即证两直线方向向量的数量积为0. 证明两直线垂直的基本步骤：建立空间直角坐标系→写出点的坐标→求直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直． 八、直线与平面垂直 设u是直线 l 的方向向量，n是平面α的法向量，l⊄α，则l⊥α⇔u∥n⇔∃λ∈R，使得u＝λn. 证明直线与平面垂直的方法： (1)选基底，将相关向量用基底表示出来，然后利用向量的计算来证明． (2)建立空间直角坐标系，利用坐标将向量的运算转化为实数(坐标)的运算，以达到证明的目的． 九、平面与平面垂直 设n1，n2 分别是平面α，β的法向量，则α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0. (1)若证面面垂直，则证两平面的法向量垂直． (2)利用空间向量证明面面垂直通常有两个途径： 一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直；二是直接求解两个平面的法向量，由两个法向量垂直，得面面垂直． (3)向量法证明面面垂直的优越性主要体现在不必考虑图形的位置关系，恰当建系或用基向量表示后，只需经过向量运算就可得到要证明的结果，思路方法“公式化”，降低了思维难度． 十、点到直线的距离 PQ＝＝. 用向量法求点到直线的距离的一般步骤 (1)求直线的方向向量． (2)计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量上的投影向量的长度． (3)利用勾股定理求解．另外，要注意平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化． 十一、点到平面的距离与直线