2.1直线和圆的方程-讲义（知识点+考点+练习）-2021-2022学年人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册（教师版+学生版）

2.1直线和圆的方程 一、直线的倾斜角 当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. (1)从运动变化的观点来看，当直线l与x轴相交时，直线l的倾斜角是由x轴绕直线l与x轴的交点按逆时针方向旋转到与直线l重合时所得到的最小正角． (2)倾斜角从“形”的方面直观地体现了直线对x轴正向的倾斜程度． (3)直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°. 直线倾斜角的概念和范围 (1)求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论． (2)注意倾斜角的范围． 二、直线的斜率 1．把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α. 2．直线的方向向量与斜率的关系：若直线l的斜率为k，它的一个方向向量的坐标为(x，y)，则k＝. (1)当x1＝x2时，直线的斜率不存在，倾斜角为90°. (2)斜率公式中k的值与P1，P2两点在该直线上的位置无关． (3)斜率公式中两纵坐标和两横坐标在公式中的次序可以同时调换． (4)若直线与x轴平行或重合，则k＝0. 求直线的斜率的两种方法 (1)利用定义：已知直线的倾斜角为α，且α≠90°，则k＝tan α. (2)利用斜率公式：k＝(x1≠x2)． 三、倾斜角和斜率的应用 设直线的倾斜角为α，斜率为k. α的大小 0° 0°<α<90° 90° 90°<α<180° k的范围 k＝0 k>0 不存在 k<0 k的增减性 随α的增大而增大 随α的增大而增大 倾斜角和斜率的应用 (1)倾斜角和斜率都可以表示直线的倾斜程度，二者相互联系． (2)涉及直线与线段有交点问题常通过数形结合利用公式求解． 四、两条直线平行的判定 对于斜率分别为k1，k2的两条直线l1，l2，有l1∥l2⇔k1＝k2. 注意点： (1)l1∥l2⇔k1＝k2成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②l1与l2不重合． (2)k1＝k2⇒l1∥l2或l1与l2重合(斜率存在)． (3)l1∥l2⇒k1＝k2或两条直线的斜率都不存在． 判断两条不重合的直线是否平行的方法 五、两条直线垂直的判定 对应关系 l1与l2的斜率都存在，分别为k1，k2，则l1⊥l2⇔k1·k2＝－1 l1与l2中的一条斜率不存在，另一条斜率为零，则l1与l2的位置关系是l1⊥l2 图示 注意点： (1)l1⊥l2⇔k1k2＝－1成立的条件是两条直线的斜率都存在． (2)当直线l1⊥l2时，有k1k2＝－1或其中一条直线垂直于x轴，另一条直线垂直于y轴；而若k1k2＝－1，则一定有l1⊥l2. (3)当两条直线的斜率都存在时，若有两条直线的垂直关系，则可以用一条直线的斜率表示另一条直线的斜率． 判断两条直线是否垂直的方法 在这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于－1即可；若有一条直线与x轴垂直，另一条直线与x轴平行或重合时，这两条直线也垂直． 六、平行与垂直的综合应用 利用两条直线平行或垂直判定图形形状的步骤 考点一 倾斜角 【例1】(1)(2020·四川高一期末)直线l：x+y﹣3＝0的倾斜角为( ) A．30° B．60° C．120° D．90° (2)(2020·全国高二课时练习)l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角α的范围是(　　) A．0°≤α<90° B．90°≤α<180° C．90°<α<180° D．0°<α<180° 【练1】(2020·江苏如东高一期中)直线的倾斜角是( ) A． B． C． D． 考点二 斜率 【例2】(2020·全国高二课时练习)过点)与点)的直线的倾斜角为( ) A． B． C．或 D． 【练2】(2020·河北省曲阳县第一高级中学高一期末)直线的斜率为( ) A．1 B． C． D．2 考点三 倾斜角与斜率综合运用 【例3】(2020·江苏省海头高级中学高一月考)已知点，若，则直线AB的倾斜角的取值范围为( ) A． B． C． D． 【练3】(2020·浙江宁波.高一期末)一条直线过点 A (1，0)和 B (−2，3) ，则该直线的倾斜角为( ) A．30° B．45° C．135° D．150° 考点四 直线平行 【例4】(2020·四川达州.高三其他(文))直线与直线互相平行，则实数( ) A． B．4 C． D．2 【练4】(2020·四川省开江中学高一月考)若直线与直线平行，则实数的值为( ) A．2 B．1 C．0 D． 考点五 直线垂直 【例5】(2020·武汉市新洲区第一中学高一月考)已