2.4圆的方程-讲义（知识点+考点+练习）-2021-2022学年人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册（教师版+学生版）

2.4圆的方程 一、圆的标准方程 确定圆的标准方程需要两个条件：圆心坐标与半径 注意点： (1)当圆心在原点即A(0,0)，半径长r＝1时，方程为x2＋y2＝1，称为单位圆． (2)相同的圆，建立坐标系不同时，圆心坐标不同，导致圆的方程不同，但是半径是不变的． (3)圆上的点都满足方程，满足方程的点都在圆上． 直接法求圆的标准方程的策略 确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径，常用到中点坐标公式、两点间距离公式，有时还用到平面几何知识，如“弦的中垂线必过圆心”“两条弦的中垂线的交点必为圆心”等． 二、点与圆的位置关系 圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，其圆心为C(a，b)，半径为r，点P(x0，y0)， 设d＝|PC|＝. 位置关系 利用距离判断 利用方程判断 点在圆外 d>r (x0－a)2＋(y0－b)2>r2 点在圆上 d＝r (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 点在圆内 d<r (x0－a)2＋(y0－b)2<r2 判断点与圆的位置关系的两种方法 (1)几何法：主要利用点到圆心的距离与半径比较大小． (2)代数法：把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的大小，并作出判断． 三、待定系数法求圆的标准方程 待定系数法求圆的标准方程的一般步骤 四、圆的一般方程的辨析 1．圆的一般方程：当D2＋E2－4F>0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0称为圆的一般方程． 2．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形 条件 图形 D2＋E2－4F<0 不表示任何图形 D2＋E2－4F＝0 表示一个点 D2＋E2－4F>0 表示以为圆心，以为半径的圆 (1)二元二次方程要想表示圆，需x2和y2的系数相同且不为0，没有xy这样的二次项． (2)二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是D2＋E2－4F>0. 圆的一般方程的辨析 (1)由圆的一般方程的定义，若D2＋E2－4F>0成立，则表示圆，否则不表示圆． (2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解． 五、求圆的一般方程 求圆的方程的策略 (1)几何法：由已知条件通过几何关系求得圆心坐标、半径，得到圆的方程； (2)待定系数法：选择圆的一般方程或标准方程，根据条件列关于a，b，r或D，E，F的方程组解出系数得到方程． 六、圆的轨迹问题 求与圆有关的轨迹问题的方程 (1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程． (2)定义法：根据圆、直线等定义列方程． (3)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等． 考点一 圆的方程 【例1】(2020·河南濮阳.高一期末(理))设，则以线段为直径的圆的方程是( ) A． B． C． D． 【练1】(2020·江苏如东高一期中)已知两点，以线段为直径的圆的方程为________________. 考点二 根据圆的方程求参数 【例2】(2020·西夏.宁夏大学附属中学高一期末)方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的范围是(　　) A．a<－2或a> B．－<a<2 C．－2<a<0 D．－2<a< 【练2】 (2020·天津南开。高三二模)方程x2+y2﹣kx+2y+k2﹣2＝0表示圆的一个充分不必要条件是( ) A．k∈(﹣∞，﹣2)∪(2，+∞) B．k∈(2，+∞) C．k∈(﹣2，2) D．k∈(0，1] 考点三 点与圆的位置关系 【例3】(2020·黑龙江南岗哈师大附中高二月考)点P(m,5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是(　　) A．在圆外 B．在圆内 C．在圆上 D．不确定 【练3】 (2020·苏州市相城区陆慕高级中学高一月考)若点在圆的内部，则实数a的取值范围是( ) A．(1,1) B．(0,1) C． D． 考点四 对称问题 【例4】(2020·全国高二课时练习)已知圆C：x2+y2=4，则圆C关于直线l：x﹣y﹣3=0对称的圆的方程为(　　) A．x2+y2﹣6x+6y+14=0 B．x2+y2+6x﹣6y+14=0 C．x2+y2﹣4x+4y+4=0 D．x2+y2+4x﹣4y+4=0 【练4】(2019·四川西昌.高二期中(理))圆关于直线对称的圆的标准方程是( ) A． B． C． D． 考点五 轨迹方程 【例5】(2020·全国高二课时练习)已知动点P到点A(4,1)的距离是到点B(-1,-1)的距离的2倍，则动点P的轨迹方程为______. 【练5】 (2019·绍兴鲁迅中学高二期中)当点在圆上变动时，它与定点的连线的中点的轨迹方程是( ) A． B． C． D． 课后练习 1. （2021·吉林模拟）若双曲线C： 的一条渐近线被以焦点为圆心的圆