3.2双曲线-讲义（知识点+考点+练习）-2021-2022学年人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册（教师版+学生版）

3.2双曲线 一、双曲线的定义 一般地，把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距． 注意点： (1)常数要小于两个定点的距离． (2)如果没有绝对值，点的轨迹表示双曲线的一支． (3)当2a＝|F1F2|时，动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条方向相反的射线(包括端点)． (4)当2a>|F1F2|时，动点的轨迹不存在． (5)当2a＝0时，动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线． 判断点的轨迹是否为双曲线时，要根据双曲线的定义成立的充要条件． 二、双曲线的标准方程及其推导过程 双曲线的标准方程 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 焦点 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) a，b，c的关系 b2＝c2－a2 注意点： (1)若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，那么焦点在y轴上． (2)a与b没有大小关系． (3)a，b，c的关系满足c2＝a2＋b2. 双曲线的标准方程 (1)用待定系数法求双曲线的标准方程时，若焦点位置不确定，可按焦点在x轴和y轴上两种情况讨论求解． (2)当mn<0时，方程＋＝1表示双曲线． 三、双曲线定义的简单应用 双曲线的定义的应用 (1)已知双曲线上一点的坐标，可以求得该点到某一焦点的距离，进而根据定义求该点到另一焦点的距离． (2)双曲线中与焦点三角形有关的问题可以根据定义结合余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的灵活运用． 四、双曲线定义的应用 反思感悟　求解与双曲线有关的长度和最值问题，都可以通过相应的双曲线的定义去解决． 五、双曲线方程的设法 共焦点双曲线的设法 与双曲线－＝1(a>0，b>0)有公共焦点的双曲线方程为－＝1(－a2<λ<b2)；与双曲线－＝1(a>0，b>0)有公共焦点的双曲线方程为－＝1(－a2<λ<b2)． 六、双曲线的实际生活应用 利用双曲线解决实际问题的基本步骤 (1)建立适当的坐标系． (2)求出双曲线的标准方程． (3)根据双曲线的方程及定义解决实际应用问题(注意实际意义)． 七、双曲线的几何性质 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 图形 性质 范围 x≥a或x≤－a y≤－a或y≥a 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点坐标 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝ a，b，c间的关系 c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0) 注意点： (1)双曲线的离心率刻画了双曲线的“张口”大小，e越大，开口越大． (2)等轴双曲线的离心率为，渐近线方程为y＝±x. (3)双曲线的渐近线方程要注意焦点所在轴的位置． (4)焦点到渐近线的距离为b. 由双曲线的方程研究几何性质 (1)把双曲线方程化为标准形式是解决此类题的关键． (2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值． (3)由c2＝a2＋b2求出c的值，从而写出双曲线的几何性质． 八、由双曲线的几何性质求标准方程 由双曲线的性质求双曲线的标准方程 (1)根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程(组)，但要注意焦点的位置，从而正确选择方程的形式． (2)巧设双曲线方程的技巧 ①与双曲线－＝1共焦点的双曲线方程可设为－＝1(λ≠0，－b2<λ<a2)． ②与双曲线－＝1具有相同渐近线的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)． ③渐近线方程为ax±by＝0的双曲线方程可设为a2x2－b2y2＝λ(λ≠0)． 九、求双曲线的离心率 求双曲线离心率的方法 (1)直接法：若可求得a，c，则直接利用e＝得解． (2)解方程法：若得到的是关于a，c的齐次方程pc2＋q·ac＋r·a2＝0(p，q，r为常数，且p≠0)，则转化为关于e的方程pe2＋q·e＋r＝0求解． 十、双曲线定义的应用 双曲线的第二定义：当点M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e＝(e>1)时，这个点的轨迹是双曲线． 十一、直线与双曲线的位置关系 把直线与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为ax2＋bx＋c＝0的形式，在a≠0的情况下考察方程的判别式． (1)Δ>0时，直线与双曲线有两个不同的公共点． (2)Δ＝0时，直线与双曲线只有一个公共点． (3)Δ<0时，直线与双曲线没有