3.3抛物线-讲义（知识点+考点+练习）-2021-2022学年人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册（教师版+学生版）

3.3抛物线 一、抛物线的定义 1．定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线． 2．焦点：定点F. 3．准线：定直线l. 注意点： (1)“一动三定”：一动点M；一定点F(即焦点)；一定直线l(即准线)；一定值1(即动点M到定点F的距离与到定直线l的距离之比为1)． (2)若点F在直线l上，点的轨迹是过点F且垂直于直线l的直线． 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 y2＝2px(p>0) x＝－ y2＝－2px(p>0) x＝ x2＝2py(p>0) y＝－ x2＝－2py(p>0) y＝ 注意点： (1)p的几何意义是焦点到准线的距离． (2)标准方程的结构特征：顶点在坐标原点、焦点在坐标轴上． (3)抛物线的开口方向：抛物线的开口方向取决于一次项变量(x或y)的取值范围． 用待定系数法求抛物线标准方程的步骤 注意：当抛物线的类型没有确定时，可设方程为y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)，这样可以减少讨论情况的个数． 二、抛物线定义的应用 抛物线定义的应用 实现距离转化．根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距与点线距的相互转化，从而简化某些问题． 三、抛物线的实际应用问题 涉及拱桥、隧道的问题，通常需建立适当的平面直角坐标系，利用抛物线的标准 方程进行求解． 四、抛物线的几何性质 标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) 图形 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 对称轴 x轴 x轴 y轴 y轴 焦点坐标 F F F F 准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 顶点坐标 O(0,0) 离心率 e＝1 注意点： 只有焦点在坐标轴上，顶点是原点的抛物线的方程才是标准方程． 反思感悟　把握三个要点确定抛物线的简单几何性质 (1)开口：由抛物线标准方程看图象开口，关键是看准一次项是x还是y，一次项的系数是正还是负． (2)关系：顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴． (3)定值：焦点到准线的距离为p；过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p；离心率恒 等于1. 五、抛物线的几何性质的应用 利用抛物线的性质可以解决的问题 (1)对称性：解决抛物线的内接三角形问题． (2)焦点、准线：解决与抛物线的定义有关的问题． (3)范围：解决与抛物线有关的最值问题． (4)焦点弦：解决焦点弦问题． 六、直线与抛物线的位置关系 设直线l：y＝kx＋m，抛物线：y2＝2px(p>0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x的方程k2x2＋2(km－p)x＋m2＝0. (1)若k≠0，当Δ>0时，直线与抛物线相交，有两个交点； 当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个交点； 当Δ<0时，直线与抛物线相离，没有公共点． (2)若k＝0，直线与抛物线有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合． 注意点： (1)直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件． (2)研究直线与抛物线的关系时要注意直线斜率不存在的情况． 判断直线与抛物线的位置关系的方法：联立方程组消元，当二次项系数不等于零时，用判别式Δ来判定；当二次项系数等于0时，直线与抛物线相交于一点． 七、弦长问题 设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p. 注意点： (1)x1·x2＝. (2)y1·y2＝－p2. (3)|AB|＝x1＋x2＋p＝ (α是直线AB的倾斜角)． (4)＋＝为定值(F是抛物线的焦点)． 求弦长问题的方法 (1)一般弦长：|AB|＝|x1－x2|，或|AB|＝|y1－y2|. (2)焦点弦长：设过焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p. 知识点八 抛物线的轨迹问题 反思感悟　求轨迹问题的两种方法 (1)直接法：按照动点适合条件直接代入求方程． (2)定义法： 若动点满足某种曲线定义，可按待定系数法列方程(组)求解曲线方程． 考点一 抛物线的定义 【例1】(2020·天津河西.高二期末)已知抛物线的焦点为，为原点，点是抛物线的准线上的一动点，点在抛物线上，且，则的最小值为(　　) A． B． C． D． 【练1】 (2020·全国高二课时练习)已知抛物线上一点P到准线的距离为，到直线:为，则的最小值为( ) A．3 B．4 C． D． 考点二 抛物线的标准方程 【例2】(2020·全国高二课时练习