4.2.1等差数列(典例分类精讲)-【巅峰课堂】2021-2022学年高二数学同步精讲+检测(人教A版2019选择性必修第二册)

4.2.1 等差数列 【知识目录】 1. 等差数列的判定与定义 2. 等差数列的性质及计算 3.递推公式之等差数列 4.等差数列的函数性质和最值范围 5.实际应用题 6.等差数列综合应用 7. 高中联赛、竞赛与自主招生题选 典例分类精讲 · 一、等差数列的判定与定义 1. 等差数列判定，可以用定义法。如例题1 2. 等差数列的结构性变化，是否依旧具有等差性质，否定很简单，可以代指否定，否则依旧要用定义来确认。如例题2 3. 判断难点是类似例题3这一类递推型，需要通过构造求出通项公式。通项公式是关于n的一次函数形式，即为等差数列。 4. 注意多个等差数列的“加减乘除”是否具有等差性质，如例题4和5。 一般情况下，以下几条推论成立： （1）若{an}，是等差数列，则是等差数列 （2）若{an}是等差数列，则每隔k项取出一项，依旧是等差数列（跳棋性质） 若{an}是等差数列且公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d． 若{an}是等差数列且公差为d，则{a2n－1＋a2n}也是等差数列，公差为4d． 类似这样的规律，可以多举例子（实际授课时，用跳棋来打比方）增加理解，但不要求学生记忆。 5.稍微复杂的递推公式，要在鉴别出“累加法”“累积法”以及“周期数列”的特征基础上，可以推导出等差数列的定义形式，如例题6及本专题对点实战中的题。 【典型例题】 【例1】已知数列是公差不为零的等差数列，则由下列关系确定的数列也一定是等差数列的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 A中设数列的公差为，求出的表达式，再根据等差数列的定义判断．BCD中通过特例求出，根据通项公式形式可判断． 【详解】 A．设数列的公差为，由，又由，故数列也一定是等差数列. 若，是等差数列， B．，不是等差数列， C．，不是等差数列， D．，不是等差数列， 故选：A． 【例2】下列说法中正确的是（ ） A．若a，b，c成等差数列，则成等差数列 B．若a，b，c成等差数列，则成等差数列 C．若a，b，c成等差数列，则a+2，b+2，c+2成等差数列， D．若a，b，c成等差数列，则成等差数列 【答案】C 【分析】 选项A、B、D举反例即可判断，选项C可用等差数列的定义判断 【详解】 对于A选项，成等差数列，但不成等差数列，故A错误； 对于B选项，成等差数列，但为不成等差数列，故B错误； 对于C选项，由于a，b，c成等差数列，故，则，即a+2，b+2，c+2成等差数列，C正确； 对于D选项， 成等差数列，但不成等差数列, 故D错误 故选：C 【例3】若数列满足，，则此数列是（ ） A．等差数列 B．等比数列 C．既是等差数列又是等比数列 D．既非等差数列又非等比数列 【答案】A 【分析】 首先判断数列是常数列，求得数列的通项公式后，判断选项. 【详解】 由条件可知，所以数列是常数列，，所以，即，， 所以数列是等差数列.故选：A 【例4】 已知无穷数列和都是等差数列，其公差分别为和，若数列也是等差数列，则（ ） A． B． C．，可以是任何实数 D．不存在满足条件的实数和 【答案】B 【分析】 根据题意，得到，整理，即可得出结果. 【详解】 因为无穷数列和都是等差数列，其公差分别为和，且数列也是等差数列， 所以，即， 整理得，即， 即和中有一个等于零，或两者都为零；因此ACD都不正确； 故选：B． 【例5】设公差为-2的等差数列，如果，那么（ ） A．-72 B．-78 C．-182 D．-82 【答案】D 【分析】 利用等差数列通项公式及性质求得答案． 【详解】∵{an}是公差为﹣2的等差数列， ∴a3+a6+a9+…+a99＝（a1+2d）+（a4+2d）+（a7+2d）+…+（a97+2d）＝a1+a4+a7++a97+33×2d＝50﹣132＝﹣82．故选：D． 【例6】已知数列满足递推关系：,,则 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 利用数列递推关系,结合等差数列的定义得数列是首项为,公差为的等差数列,再利用等差数列的通项公式计算即可． 【详解】 解：,,又,数列是首项为,公差为的等差数列,即 ,即.故选C． 【对点实战】 1.下列命题中正确的个数是 ①若a，b，c成等差数列，则一定成等差数列； ②若a，b，c成等差数列，则可能成等差数列； ③若a，b，c成等差数列，则一定成等差数列； ④若a，b，c成等差数列，则可能成等差数列 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】 根据等差数列的定义，利用列举法和举反例法判断①②④，利用等差中项的性质判断③即可. 【详解】 对于选项①：取， 由等差数列的定义可知，选项①错误； 对于选项②：例如，即与a，b，c都是公差为的等差数列，故选