4.3 指数函数与对数函数的关系-2021-2022学年高一数学同步知识梳理+考点精讲精练(人教B版2019必修第二册)

4.3指数函数与对数函数的关系 知识梳理 1.一般地，如果在函数y＝f(x)中，给定值域中任意一个y的值，只有唯一的x与之对应，那么x是y的函数，这个函数称为y＝f(x)的反函数. 2.一般地，函数y＝f(x)的反函数记作y＝f－1(x).y＝f(x)的定义域与y＝f－1(x)的值域相同，y＝f(x)的值域与y＝f－1(x)的定义域相同，y＝f(x)与y＝f－1(x)的图像关于直线对称. 3.如果y＝f(x)是单调函数，那么它的反函数一定单调.如果y＝f(x)是增函数，则y＝f－1(x)也是增函数；如果y＝f(x)是减函数，则y＝f－1(x)也是减函数. 常见考点 考点一 求反函数 典例1． 函数的反函数的表达式为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 利用反函数的定义求解. 【详解】 由得， 令得， 所以函数的反函数的表达式为， 故选：B 变式1-1． 函数的反函数为（ ）． A．； B．； C．； D．． 【答案】B 【分析】 求得原函数值域，并用表示，由反函数定义可直接得到结果. 【详解】 当时，，又， 的反函数为. 故选：B. 变式1-2． 函数的反函数______． 【答案】 【分析】 利用指数式和对数式的互化及反函数的求法进行求解. 【详解】 令，得：， 所以函数的反函数为. 故答案为：. 变式1-3． 函数的反函数为___________. 【答案】 【分析】 利用反函数的定义求解. 【详解】 由，得， 解得或， 因为， 所以， 又， 令，得的反函数为， 故答案为： 考点二 根据反函数求参数 典例2． 函数（，且）的反函数的图象过点，则a的值为（ ） A．2 B． C．2或 D．3 【答案】B 【分析】 法一：求出反函数，将点代入反函数即可求解；法二：根据反函数的性质可得函数的图象过点，代入求解即可. 【详解】 法一：函数（，且）的反函数为（，且）， 故的图象过点，则． 法二：∵函数（，且）的反函数的图象过点， ∴函数（，且）的图象过点， ∴，即． 故选：B 变式2-1．（2020·广东·新会华侨中学高一月考）若函数是函数（，且）的反函数，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 化指数式为对数式，求出函数的反函数，然后由求出的值，则的解析式可求． 【详解】 解：由，得：， 函数的反函数是， 由，得：，即． 所以． 故选：． 变式2-2．（2019·福建浦城·高一期中）若函数是函数（且）的反函数，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 由题意可得出，结合可得出的值，进而可求得函数的解析式. 【详解】 由于函数是函数（且）的反函数，则， 则，解得，因此，. 故选：B. 变式2-3． 已知函数的反函数就是本身，则a的值为___________. 【答案】3 【分析】 利用反函数的求法，直接求出原函数的反函数，对照相等，求出即可． 【详解】 解：因为，所以，即 所以，因为，即，所以 故答案为：． 考点三 反函数的性质应用 典例3．（2020·新疆·乌市八中高一月考）已知函数的反函数图象过点，则函数的图象必过点（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 根据反函数性质即可得到答案. 【详解】 函数的反函数图象过点， 函数的图象必过点. 故选：C. 变式3-1．（2020·广东·深圳中学高一期中）函数的反函数的图象经过点（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 写出函数的反函数，判断选项中的点是否满足即可. 【详解】 函数的反函数为，经过点 故选：D 变式3-2． 若函数的图像经过点，则函数的反函数的图像一定经过点___________. 【答案】 【分析】 根据反函数于原函数的关系即可得出答案. 【详解】 因为函数的图像经过点，且函数的图像与其反函数的图像关于对称， 所以函数的反函数的图像一定经过点. 故答案为：. 变式3-3． 若函数的反函数的图象经过点，则___________. 【答案】 【分析】 由条件可知函数过点，代入后即可求得的值. 【详解】 根据反函数的定义可知，函数的反函数的图象经过点， 则函数经过点， 所以，解得. 故答案为：. 典例4． 函数与函数的图象（ ） A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线对称 【答案】D 【分析】 根据反函数的性质以及对数函数和指数函数互为反函数可求得的答案. 【详解】 解：与互为反函数，所以它们的图象关于直线对称. 故选：D. 变式4-1． 函数与的图象（ ） A．关于轴对称 B．关于轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线对称 【答案】D 【分析】 根据反函数的性质作答． 【详解】 由得，即，∴与互为反函数，其图象关于