4.2.3 对数函数的性质与图像-2021-2022学年高一数学同步知识梳理+考点精讲精练(人教B版2019必修第二册)

4.2.3对数函数的性质与图像 知识梳理 1.对数函数 一般地，函数称为对数函数，其中a是常数，a>0且a≠1. 2.对数函数的性质： （1）定义域是，因此函数图象一定在y轴的右边. （2）值域是实数集. （3）函数图象一定过点. （4）当a>1时，是增函数；当0<a<1时，是减函数. （5）对数函数的图象 （6）对数函数和的图象关于对称. 注意： 底数a与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当a>1时，对数函数的图象“上升”；当0<a<1时，对数函数的图象“下降”. 常见考点 考点一 对数函数的图像 典例1．（2019·北京五十五中高一期中）在同一个坐标系下，函数与函数的图象都正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 根据函数的单调性判断函数图象． 【详解】 解：指数函数是增函数， 对数函数是减函数， 故选：A. 变式1-1． 函数与（且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 分别在和两种情况下做出函数图象，对比选项可得结果. 【详解】 当时，大致图象如图所示；当时，大致图象如图所示. 故选：A. 变式1-2． 在同一直角坐标系中，函数，（，且）的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 法一：分，，利用指数函数和对数函数的单调性判断； 法二：分别取和，在同一直角坐标系内画出相应函数的图象判断. 【详解】 法一：若，则函数是增函数，是减函数，且其图象过点，结合选项可知，选项D可能成立； 若，则是减函数，而是增函数，且其图象过点，结合选项可知，没有符合的图象． 故选：D． 法二：分别取和，在同一直角坐标系内画出相应函数的图象 由图象知：选项D正确． 故选：D 变式1-3． 函数的大致图象为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 首先求出函数的定义域，即可排除、，再根据特殊值，即可排除； 【详解】 解：因为，所以函数的定义域为，即图象在时无值，排除B、D选项；当时，，所以A选项正确． 故选：A 考点二 由对数函数的图像求参数的范围 典例2． 图中曲线分别表示的图像，，的关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 在坐标系中，令，根据与函数交点的横坐标的大小得到结论. 【详解】 如图所示： 当时，， 因为， 所以 故选：C 变式2-1． 如图，若，分别为函数和的图象，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 根据对数函数的图象特征，即可直接得到大小关系. 【详解】 根据，分别为函数和的图象， 可得，，且. 故选：B 【点睛】 本题考查根据对数函数图象求参数范围，注意规律的总结，属简单题. 变式2-2． 小华同学作出的时的对数函数的图象如图所示，则对应于的的值分别为 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 令得，结合图象可确定选项. 【详解】 令得，如图可得的的值为从小到大的顺序，即， 故选：C 【点睛】 本题考查对数函数图象与性质，考查基本分析求解能力，属基础题. 变式2-3． 如图为函数的图象，其中、为常数，则下列结论正确 A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】 本题考查对数函数的图像和性质，数形结合思想及分析解决问题的能力. 根据图像可知：函数是减函数，所以又当时，故选D 考点三 对数复合型函数的定义域 典例3． 函数的定义域是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 根据根式及对数的性质列不等式组，求函数定义域即可. 【详解】 由题意，有，解得. ∴函数定义域为. 故选：B. 变式3-1． 函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 根据真数大于0列不等式后再解不等式即可. 【详解】 由题意得，即，解得. 故选:A. 变式3-2． 函数的定义域为 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 对数函数的定义域为真数大于0，解不等式即可. 【详解】 解：函数的定义域为：，即或， 所以定义域为：. 故选：D. 变式3-3． 已知函数，则的定义域为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 根据对数的定义，函数的定义域满足，解出即可. 【详解】 由函数的定义域满足： 解得：或 故的定义域为 故选：B 考点四 对数复合型函数的值域 典例4．（2020·广东·深圳实验学校高中部高一月考）函数值域是（ ） A． B．R C． D． 【答案】A 【分析】 先求出函数的定义域，再换元令，则，求出的范围，再利用对数函数的性质可求出函数的值域 【详解】 由，得， 令，则， 因为，， 所以， 因为函数在上单调递减， 所以， 所以函数的值域为， 故选：A 变式4-1．