4.1.1 实数指数幂及其运算-2021-2022学年高一数学同步知识梳理+考点精讲精练(人教B版2019必修第二册)

4.1.1实数指数幂及其运算 知识梳理 1．有理指数幂 （1）一般地，an中的a称为底数，n称为指数． （2）一般地，给定大于1的正整数n和实数a，如果存在实数x，使得，则x称为a的n次方根． ①0的任意正整数次方根均为0，记为． ②正数a的偶数次方根有两个，它们互为相反数，其中正的方根称为a的n次算术根，记为，负的方根记为；负数的偶数次方根在实数范围内不存在． ③任意实数的奇数次方根都有且只有一个，记为．而且正数的奇数次方根是一个正数，负数的奇数次方根是一个负数． （3）当有意义的时候，称为根式，n称为根指数，a称为被开方数． 一般地，根式具有以下性质：① . ② （4）一般地，如果n是正整数，那么：当有意义时，规定；当没有意义时，称没有意义． 对于一般的正分数，也可作类似规定，即．但值得注意的是，这个式子在不是既约分数(即m，n有大于1的公因数)时可能会有歧义． 负分数指数幂：若s是正分数，as有意义且a≠0时，规定 （5）有理指数幂的运算法则：，， ． 2．实数指数幂 一般地，当a>0且t是无理数时，at都是一个确定的实数．因此，当a>0时，t为任意实数时，可以认为实数指数幂at都有意义． 常见考点 考点一 根式的化简求值 典例1． 化简： （1）（）； （2）； （3）（）； （4）（）. 【答案】（1），（2），（3），（4）1 【分析】 利用根式的性质逐个化简计算即可 【详解】 （1）因为，所以， 所以， （2）， （3）因为，所以， 所以， （4）因为，所以， 所以 变式1-1． 求下列各式的值： （1）； （2）； （3）； （4）. 【答案】（1）5；（2）；（3）2；（4）. 【分析】 根据根式的定义及运算性质即可求解. 【详解】 解：（1）； （2）； （3）； （4）. 变式1-2． ____________． 【答案】 【分析】 先将里面配成完全平方的形式，再化简出来即可 【详解】 故答案为： 变式1-3．（2020·上海·古美高中高一期中）当时，=___________. 【答案】 【分析】 根据开根号的性质，直接计算即可得解. 【详解】 由， 则， 故答案为： 考点二 分数指数幂与根式的互化 典例2． 计算： （1）；（2）；（3）；（4）. 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）. 【分析】 直接计算根式的值即可. 【详解】 （1）； （2）； （3）； （4）. 变式2-1． 把下列根式用指数形式表示出来，并化简 （1）； （2） 【答案】（1）；（2）. 【分析】 根据根式与分数指数幂的互化以及指数幂的运算性质即可求解. 【详解】 （1）原式. （2）原式. 变式2-2． 用分数指数幂形式表示下列各式（式中）： （1）； （2）； （3）； （4）. 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）. 【分析】 先将根式写成分数指数幂的形式，再利用幂的运算性质化简即可. 【详解】 （1） （2）； （3）； （4）解法一：从里向外化为分数指数幂 == = = = 解法二：从外向里化为分数指数幂. = == = = 变式2-3． 把下列根式化成分数指数幂： （1）； （2）； （3）； （4）. 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）. 【分析】 利用根式与分式指数幂的互化即可求解. 【详解】 （1）=； （2）； （3）； （4）= =. 考点三 指数幂的运算 典例3． 化简下列各式（，，，）： （1）；（2）； （3）；（4）； （5）；（6）； （7）；（8）. 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）或；（7）或；（8）. 【分析】 （1）（2）（3）用同底数幂相乘的法则计算；（4）（5）用幂的乘法的法则计算；（6）（7）用积的乘方的法则计算；（8）用积的乘方与同底数幂的除法法则计算. 【详解】 （1）；（2）；（3）（4）；（5）； （6）； （7）； （8）. 变式3-1． 计算下列各式： （1）；（2）. 【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）将根式化为分数指数幂，利用指数幂的运算性质化简计算即可； （2）利用指数幂的运算性质化简计算即可. 【详解】 （1）原式； （2）原式. 【点睛】 本题考查利用指数幂的运算性质化简计算，解题时要注意将根式化为分数指数幂，考查计算能力，属于基础题. 变式3-2． 化简下列各式： （1）；（2） 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 （1）运用的指数幂的运算公式直接求解即可； （2）运用的指数幂的运算公式直接求解即可； 【详解】 解：（1）； （2）. 【点睛】 本题考查了指数幂的运算法则，考查了数学运算能力. 变式3-3． 计算下列各式（式中字母均是正数）： （1）；（2）；（3）. 【答案】（1）；