4.3.1 等比数列的概念-2021-2022学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破（人教A版2019选择性必修第二册）

高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版选择性必修第二册) 第四章：数列 4.3.1　等比数列的概念 【考点梳理】 考点一　等比数列的概念 1．定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示(q≠0)． 2．递推公式形式的定义：. ＝q(n∈N*且n>1) 考点二　等比中项 如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时，G2＝ab. 考点三　等比数列的通项公式 若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则an＝a1qn－1(n∈N*)． 考点四　等比数列通项公式的推广和变形 等比数列{an}的公比为q，则 an＝a1qn－1①＝amqn－m②＝·qx为指数型函数． ·qn.③其中当②中m＝1时，即化为①.当③中q>0且q≠1时，y＝ 等比数列的应用及性质 考点五　实际应用题常见的数列模型 1．储蓄的复利公式：本金为a元，每期利率为r，存期为n期，则本利和y ＝a(1＋r)n. 2．总产值模型：基数为N，平均增长率为p，期数为n， 则总产值y ＝ N (1 ＋ p)n. 考点六　等比数列的常用性质 设数列{an}为等比数列，则： (1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak·al＝am·an. (2)若m，p，n成等差数列，则am，ap，an成等比数列． (3)在等比数列{an}中，连续取相邻k项的和(或积)构成公比为qk(或 )的等比数列． (4)若{an}是等比数列，公比为q，则数列{λan}(λ≠0)，，q2. }都是等比数列，且公比分别是q，，{a (5)若{an}，{bn}是项数相同的等比数列，公比分别是p和q，那么{anbn}与. 也都是等比数列，公比分别为pq和 【题型归纳】 题型一：等比数列中的基本运算 1．（2021·全国·高二课时练习）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，a4－a1＝78，S3＝39，设bn＝log3an，那么数列{bn}的前10项和为（ ） A．log371 B． C．50 D．55 2．（2021·河南·高二期中（文））若数列 是等比数列， ， ，则 （ ） A． B． C． D． 3．（2021·河南·高二期中（理））已知等比数列 中， ， ，则 （ ） A． B． C． D． 题型二：等比中项的应用 4．（2021·全国·高二课时练习）已知数列 是等差数列， ，其中公差 ，若 是 和 的等比中项，则 （ ） A．398 B．388 C．189 D．199 5．（2021·陕西·延安市宝塔区第四中学高二月考）已知各项均为正数的等比数列 中， ，则 等于（ ） A．5 B．10 C．15 D．20 6．（2021·全国·高二课时练习）已知等差数列 的公差 ，且 ， ， 成等比数列，则 ( ) A． B． C． D． 题型三：等比数列的证明 7．（2021·全国·高二课时练习）已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n－5an－85，n∈N*. （1）证明：{an－1}是等比数列； （2）求数列{an}的通项公式. 8．（2021·江苏·高二专题练习）已知数列{an}满足 ＝1，an＋1＝2an＋1，bn ＝an＋1(n∈N*)． （1）求证：{ bn }是等比数列； （2）求{ an }的通项公式． 9．（2021·河南·新蔡县第一高级中学高二月考（理））已知 是数列 的前 项和，且 （Ⅰ）求 的值，若 ，试证明数列 为等比数列； （Ⅱ）求数列 的通项公式. 题型四：等比数列的性质及其应用 10．（2021·河南洛阳·高二期中（文））等比数列 的各项均为正数，且 ，则 （ ） A．10 B．5 C．4 D． 11．（2021·江西·九江一中高二月考（理））已知等比数列 的各项均为正数，若 ，则 （ ） A．4 B．3 C．2 D．8 12．（2021·河南郑州·高二月考（理））已知数列 满足 ， （ 为非零常数）， ，则 （ ） A． B． C． D． 题型五：等比数列的函数特征（单调性和最值） 13．（2021·辽宁省阜蒙县蒙古族高级中学高二月考）已知数列 是首项不为零的等比数列，且公比大于0，那么“ ”是“数列 是递增数列”的（ ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 14．（2021·全国·高二课时练习）已知 为等比数列， ， ，以 表示 的前 项积，则使得 达到最大值的 是（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 15．（2019·广西·桂梧高中高二月考）已知公比 的等比数列 的前 项和为 ，则