4.2.1 等差数列的概念-2021-2022学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破（人教A版2019选择性必修第二册）

高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版选择性必修第二册) 第四章：数列 4.2.1　等差数列的概念 【考点梳理】 考点一　等差数列的概念 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示，公差可正可负可为零． 考点二　等差中项的概念 由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列．这时，A叫做a与b的等差中项且2A＝a＋b. 考点三　等差数列的通项公式 首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d. 考点四　从函数角度认识等差数列{an} 若数列{an}是等差数列，首项为a1，公差为d， 则an＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d)． (1)点(n，an)落在直线y＝dx＋(a1－d)上，这条直线的斜率为d，在y轴上的截距为a1－d ； (2)这些点的横坐标每增加1，函数值增加d. 等差数列的性质 考点一　等差数列通项公式的变形及推广 设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则 ①an＝dn＋(a1－d)(n∈N*)， ②an＝am＋(n－m)d(m，n∈N*)， ③d＝(m，n∈N*，且m≠n)． 其中，①的几何意义是点(n，an)均在直线y＝dx＋(a1－d)上． ②可以用来利用任一项及公差直接得到通项公式，不必求a1. ③可用来由等差数列任两项求公差． 考点二　等差数列的性质 1．若{an}，{bn}分别是公差为d，d′的等差数列，则有 数列 结论 {c＋an} 公差为d的等差数列(c为任一常数) {c·an} 公差为cd的等差数列(c为任一常数) {an＋an＋k} 公差为kd的等差数列(k为常数，k∈N*) {pan＋qbn} 公差为pd＋qd′的等差数列(p，q为常数) 2.下标性质：在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq. 特别地，若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，则有am＋an＝2ap. 3．在等差数列中每隔相同的项选出一项，按原来的顺序排成一列，仍然是一个等差数列． 4．等差数列{an}的公差为d，则d>0⇔{an}为递增数列； d<0⇔{an}为递减数列；d＝0⇔{an}为常数列． 【题型归纳】 题型一：利用定义法求等差数列的通项公式 1．（2021·广西·桂林中学高二开学考试）已知数列 满足 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 2．（2021·江苏·高二单元测试）在数列 中， ， .若 为等差数列，则 （ ） A． B． C． D． 3．（2021·广西师范大学附属外国语学校高二月考（理））已知数列 满足 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 题型二：等差数列的通项公式及其应用 4．（2021·陕西·千阳县中学高二月考）记 为等差数列 的前 项和．若 ， ，则 的公差为（ ） A．1 B．2 C．4 D．8 5．（2021·全国·高二课时练习）已知{an}是首项为1，公差为3的等差数列，如果an＝2023，则序号n等于（ ） A．667 B．668 C．669 D．675 6．（2021·全国·高二单元测试）在数列 中， ， ，若 ，则 （ ） A．671 B．672 C．673 D．674 题型三：等差中项及应用 7．（2021·河南·高二月考）已知 是等差数列，且 是 和 的等差中项，则 的公差为（ ） A． B． C．1 D．2 8．（2021·全国·高二单元测试）在等差数列 中， ，则 （ ） A．8 B．12 C．16 D．20 9．（2021·全国·高二专题练习）在等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝58，a2＋a5＋a8＝44，则a3＋a6＋a9的值为（ ） A．30 B．27 C．24 D．21 题型四：等差数列性质的应用 10．（2021·河南·高二期中（理））在等差数列 中， ， ，则 等于（ ） A． B． C． D． 11．（2021·贵州·凯里一中高二期中（理））在等差数列 中， ，则 （ ） A． B． C． D． 12．（2021·河南郑州·高二月考（理））已知正项等差数列 ，若 ， ，则 ( ) A． B． C． D． 题型五：等差数列的判定与证明 13．（2021·全国·高二课时练习）在数列{an}中，a1＝1，3anan－1＋an－an－1＝0(n 2，n∈N*). （1）证明：数列 是等差数列； （2）求数列{an}的通项公式； （3）若λan＋ EMBED Equation.DSMT4 λ对任意的n 2恒成立，求实数λ的取值范围.