6.2平面向量的运算 -讲义（知识点+考点+练习）-2021-2022学年人教A版（2019）高一数学必修第二册（教师版+学生版）

6.2 平面向量的运算 知识点一 向量加法的三角形法则 已知非零向量a，b，在平面内取任意一点A，作＝a，＝b，则向量叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝.这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则． 注意点： 运用向量加法的三角形法则作图时要“首尾相接，再首尾连”． 反思感悟　向量加法的三角形法则的特征为首尾顺次相接，即 ＋＋……＋＝. 知识点二 向量加法的平行四边形法则 1.以同一点O为起点的两个已知向量a，b，以OA，OB为邻边作▱OACB，则以O为起点的向量(OC是▱OACB的对角线)就是向量a与b的和．把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则． 2．从平行四边形的性质可知三角形法则和平行四边形法则是一致的． 3．对于零向量与任意向量a，规定a＋0＝0＋a＝a. 注意点： 运用向量加法的平行四边形法则作图时，要强调两个向量起点相同． 反思感悟　向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系 区别 联系 三角形法则 (1)首尾相接 (2)适用于任何两个非零向量求和 当两个向量不共线时，三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出图形的一半 平行四边形法则 (1)共起点 (2)仅适用于不共线的两个向量求和 知识点三 共线向量的加法与向量加法的运算律 1．一般地，我们有|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当a，b方向相同时等号成立． 2．(加法交换律)a＋b＝b＋a； (加法结合律)a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c. 反思感悟　向量加法运算律的意义和应用原则 (1)意义：向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据，实现了恰当利用向量加法法则运算的目的．实际上，由于向量的加法满足交换律和结合律，故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行． (2)应用原则：通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序． 知识点四 向量加法的实际应用 反思感悟　应用向量解决实际问题的基本步骤 (1)表示：用向量表示有关量，将所要解答的问题转化为向量问题． (2)运算：应用向量加法的平行四边形法则和三角形法则，将有关向量进行运算，解答向量问题． (3)还原：根据向量的运算结果，结合向量共线、相等等概念回答原问题． 知识点五 向量的减法运算 1．相反向量：与向量a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a. 2．向量的减法：向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差，即a－b＝a＋(－b)，因此减去一个向量，相当于加上这个向量的相反向量，求两个向量差的运算叫做向量的减法． 注意点： (1)零向量的相反向量仍是零向量． (2)对于相反向量有：a＋(－a)＝(－a)＋a＝0． (3)若a，b互为相反向量，则a＝－b，b＝－a，a＋b＝0． 知识点六 向量减法的几何意义 已知向量a，b，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a－b.即a－b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量，这就是向量减法的几何意义． 反思感悟　求作两个向量的差向量的两种思路 (1)可以转化为向量的加法来进行，如a－b，可以先作－b，然后作a＋(－b)即可． (2)可以直接用向量减法的几何意义，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量． 知识点七 向量加减的混合运算 反思感悟　(1)向量减法运算的常用方法 (2)向量加减法化简的两种形式 ①首尾相连且为和． ②起点相同且为差． 知识点八 向量加减法的综合应用 反思感悟　(1)解决此类问题要搞清楚图形中的相等向量、相反向量、共线向量以及构成三角形的三个向量之间的关系，确定已知向量与被表示向量的转化渠道． (2)主要应用向量加法、减法的几何意义以及向量加法的结合律、交换律来分析解决问题，在封闭图形中可利用向量加法的多边形法则，提升逻辑推理素养． 知识点九 向量的数乘运算 一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，其长度与方向规定如下： (1)|λa|＝|λ||a|. (2)λa(a≠0)的方向 特别地，当λ＝0时，λa＝0． 当λ＝－1时，(－1)a＝－a. 注意点： (1)数乘向量仍是向量． (2)实数λ与向量不能相加． 反思感悟　λ的正负决定向量λa(a≠0)的方向，λ的大小决定λa的模． 知识点十 向量的线性运算 1．数乘运算的运算律 设λ，μ为实数，那么 (1)λ(μa)＝(λμ)a. (2)(λ＋μ)a＝λa＋μa. (3)λ(a＋b)＝λa＋λb. 特别地，(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb. 2．向量的线性运算 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2