6.3平面向量基本定理及坐标表示 -讲义（知识点+考点+练习）-2021-2022学年人教A版（2019）高一数学必修第二册（教师版+学生版）

6.3 平面向量基本定理及坐标表示 一、平面向量基本定理 1．平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. 2．基底：若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底． 二、用基底表示向量 用基底表示向量的一般方法 (1)根据平面向量基本定理可知，同一平面内的任何一个基底都可以表示该平面内的任意向量．用基底表示向量，实质上是利用三角形法则或平行四边形法则，进行向量的线性运算． (2)基底的选取要灵活，必要时可以建立方程或方程组，通过方程或方程组求出要表示的向量． 三、平面向量基本定理的应用 (1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的． (2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决． 四、平面向量的坐标表示 1．把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解． 2．在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j，取{i，j}作为基底．对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj，则有序数对(x，y)叫做向量a的坐标． 3．坐标表示：a＝(x，y)． 4．特殊向量的坐标：i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0)． 五、平面向量加、减法的坐标表示 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则有下表， 符号表示 加法 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2) 减法 a－b＝(x1－x2，y1－y2) 重要结论 已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1) 六、平面向量坐标运算的应用 坐标形式下向量相等的条件及其应用 (1)条件：相等向量的对应坐标相等． (2)应用：利用坐标形式下向量相等的条件，可以建立相等关系，由此可以求出某些参数的值或点的坐标． 七、数乘运算的坐标表示 已知a＝(x，y)，则λa＝(λx，λy)，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标． 八、向量共线的判定 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0． 向量a，b共线的充要条件是x1y2－x2y1＝0. 向量共线的判定应充分利用向量共线定理或向量共线的坐标表示进行判断，特别是利用向量共线的坐标表示进行判断时，要注意坐标之间的搭配． 九、 利用向量共线的坐标表示求参数 利用向量平行的条件处理求值问题的思路 (1)利用向量共线定理a＝λb(b≠0)列方程组求解． (2)利用向量共线的坐标表示直接求解． 提醒：当两向量中存在零向量时，无法利用坐标表示求值． 十、有向线段定比分点坐标公式及应用 对任意的λ(λ≠－1)，P点的坐标为. 注意点： (1)λ的值可正、可负． (2)分有向线段的比与线段长度比不同． 十一、平面向量数量积的坐标表示 设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， 则a·b＝x1x2＋y1y2. 进行数量积运算时，要正确使用公式a·b＝x1x2＋y1y2，并能灵活运用以下几个关系 (1)|a|2＝a·a. (2)(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2. (3)(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2. 十二、平面向量的模 1．若a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2或|a|＝. 2．若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝. 求向量a＝(x，y)的模的常见思路及方法 (1)求模问题一般转化为求模的平方，即a2＝|a|2＝x2＋y2，求模时，勿忘记开方． (2)a·a＝a2＝|a|2或|a|＝＝，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化． 十三、平面向量的夹角、垂直问题 设a，b都是非零向量，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ. 1．cos θ＝＝. 2．a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0. 考点一 平面向量的基本定理 【例1】(2021·陕西)下列各组向量中，可以作为基底的是( ) A． B． C． D． 【练1】(2020·广东云浮市·高一期末)下列各组向量中，可以作为基底的是( )． A．， B．， C．， D．， 考点二 加减数乘的坐标运算 【例2】(2020·咸阳百灵学校高一月考)已知点(－3，3)，(－5，－1)，那么等于( ) A．(－2，－4) B．(－4，－2) C．(2，4) D．(4，2) 【练2】(2020·苍南县树人中学高一期中)已知，，则向量为( ) A． B． C． D． 考点