7.1复数的概念 -讲义（知识点+考点+练习）-2021-2022学年人教A版（2019）高一数学必修第二册（教师版+学生版）

7.1 复数的概念 一、复数的有关概念 1．定义：我们把形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2＝－1. 2．表示方法：复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部． 3．数集 (1)定义：全体复数所构成的集合叫做复数集． (2)表示：通常用大写字母C表示． 二、复数的分类 1．复数z＝a＋bi(a，b∈R) 2．复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系 反思感悟　复数分类问题的求解方法与步骤 (1)化标准式：解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部． (2)定条件：复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)即可． (3)下结论：设所给复数为z＝a＋bi(a，b∈R)，则： ①z为实数⇔b＝0； ②z为虚数⇔b≠0； ③z为纯虚数⇔a＝0且b≠0. 三、复数相等的充要条件 复数相等问题的解题技巧 (1)必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解． (2)根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现． (3)如果两个复数都是实数，可以比较大小，否则是不能比较大小的． 四、复数与复平面内点的关系 1．建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数． 2．复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，即复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)，这是复数的一种几何意义． 反思感悟　利用复数与点的对应关系解题的步骤 (1)找对应关系：复数的几何表示法即复数z＝a＋bi(a，b∈R)可以用复平面内的点Z(a，b)来表示，是解决此类问题的依据． (2)列出方程：此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程(组)或不等式(组)求解． 五、复数与复平面内向量的关系 如图所示，设复平面内的点Z表示复数z＝a＋bi，连接OZ，显然向量由点Z唯一确定；反过来，点Z(相对于原点来说)也可以由向量唯一确定． 六、复数的模 1．定义：向量的模叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模或绝对值． 2．记法：复数z＝a＋bi的模记作|z|或|a＋bi|. 3．公式：|z|＝|a＋bi|＝. 七、共轭复数 1．定义：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数． 2．表示：复数z的共轭复数用表示，即如果z＝a＋bi(a，b∈R)，那么＝a－bi. 反思感悟　互为共轭复数的两个复数在复平面内所对应的点关于实轴对称．特别地，实数和它的共轭复数在复平面内所对应的点重合，且在实轴上． 考点一 实部虚部的辨析 【例1】(2020·上海静安区·高二期末)的平方根为______． 【练1】(2020·江西抚州市)若，其中，i为虚数单位，则复数的虚部为( ) A．1 B．i C． D． 考点二 复数的分类 【例2】(2020·江苏宿迁市·高二期中)已知复数，其中为虚数单位. (1)若复数是实数，求实数的值； (2)若复数是纯虚数，求实数的值. 【练2】(2021·江西景德镇市)已知复数是纯虚数，则实数( ) A．-2 B．-1 C．0 D．1 考点三 复数的几何意义--复平面 【例3】(2020·北京101中学高二期中)在复平面内，复数的共轭复数所对应的点位于( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【练3】(2019·重庆市江津第六中学校高二期中)在复平面内，复数所对应的点位于( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 考点四 复数的几何意义--模长 【例4】(2020·湖北随州市·高二月考)已知为虚数单位，实数，满足，则( ) A．10 B． C．3 D．1 【练4】(2021·浙江高二期末)已知，若有(为虚数单位)，则( ) A．1 B． C． D． 课后练习 1. （2021·烟台模拟）若复数 ，则 （    ） A.                                         B. 2                                        C.                                         D.  2. （2021高二下·莆田期末）复数 在复平面内对应点位于（    ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3