8.3简单几何体的表面积与体积 -讲义（知识点+考点+练习）-2021-2022学年人教A版（2019）高一数学必修第二册（教师版+学生版）

8.3 简单几何体的表面积与体积 一、棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积 多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和．棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们各个面的面积的和． 求解正棱台的表面积时注意棱台的四个基本量：底面边长、高、斜高、侧棱，并注意两个直角梯形的应用 (1)高、侧棱、上、下底面多边形的中心与顶点连线所成的直角梯形． (2)高、斜高、上、下底面边心距所成的直角梯形． 二、棱柱、棱锥、棱台的体积 棱柱：V棱柱＝Sh S为棱柱的底面积，h为棱柱的高 棱锥：V棱锥＝Sh S为棱锥的底面积，h为棱锥的高 棱台：V棱台＝(S′＋＋S)h S′，S分别为棱台的上、下底面面积，h为棱台的高 求解正棱台的体积时，注意棱台的五个基本量(上、下底面边长、高、斜高、侧棱)． 常用两种解题思路：一是把基本量转化到直角梯形中解决问题；二是把正棱台还原成正棱锥．利用正棱锥的有关知识来解决问题． 三、简单组合体的表面积与体积 求组合体的表面积和体积，首先应弄清它的组成，其表面有哪些底面和侧面，各个面应该怎样求，然后再根据公式求出各面的面积，最后再相加或相减．求体积时也要先弄清组成，求出各简单几何体的体积，然后再相加或相减． 1. 表面积公式：底面积：S底＝2πr2 2. 旋转体侧面积：S侧＝2πrl 圆柱：表面积：S＝2πr(r＋l)； 圆锥：底面积：S底＝πr2；侧面积：S侧＝πrl；表面积：S＝πr(r＋l) 圆台：上底面面积：S上底＝πr′2； 下底面面积：S下底＝πr2； 侧面积：S侧＝π(r′l＋rl)； 表面积：S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl) 圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展开为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和． 四、圆柱、圆锥、圆台的体积 圆柱：V圆柱＝Sh＝πr2h 圆柱底面圆的半径为r，面积为S，高为h 圆锥：V圆锥＝Sh＝πr2h圆锥底面圆的半径为r，面积为S，高为h 圆台：V圆台＝(S＋＋S′)h＝π(r2＋rr′＋r′2)h 圆台上底面圆的半径为r′，面积为S′，下底面圆的半径为r，面积为S，高为h 五、球的表面积与体积 1．球的表面积公式S＝4πR2(R为球的半径)． 2．球的体积公式V＝πR3. 计算球的表面积与体积，关键是确定球心与半径． 考点一 多面体表面积 【例1】(2020·湖南怀化市)已知正四棱柱(即底面是正方形的直棱柱)的底面边长为，侧面的对角线长是，则这个正四棱柱的表面积为( ) A． B． C． D． 【练1】(2020·全国高一课时练习)长方体的高为2，底面积等于12，过不相邻两侧棱的截面(对角面)的面积为10，则此长方体的侧面积为( ) A．12 B．24 C．28 D．32 考点二 多面体台体积 【例2】(2020·江苏南京市)底面边长为2，高为1的正三棱柱的体积是( ) A． B．1 C． D． 【练2】(2021·扶风县法门高中)正方体的全面积为18cm2，则它的体积是_________ 考点三 旋转体的表面积 【例3】(2020·山东德州市·高一期末)若圆锥的轴截面是顶角为的等腰三角形，且圆锥的母线长为，则该圆锥的侧面积为( ) A． B． C． D． 【练3】(2021·浙江丽水市)经过圆锥的轴的截面是面积为2的等腰直角三角形，则圆锥的侧面积是( ) A． B． C． D． 考点四 旋转体的体积 【例4】(2021·宁夏银川市·贺兰县景博中学)已知圆锥的母线长为5，底面周长为，则它的体积为( ) A． B． C． D． 【练4】(2020·山东菏泽市·高一期末)若圆锥的底面半径为，侧面积为，则该圆锥的体积为( ) A． B． C． D． 考点五 球 【例5】(2020·浙江高一期末)若一个球的直径为2，则此球的表面积为( ) A． B． C． D． 【练5】(2020·江苏无锡市第六高级中学高一期中)正三棱柱有一个半径为的内切球，则此棱柱的体积是( ). A． B． C． D． 考点六 组合体的体积表面积 【例6】(2020·全国高一课时练习)如图，一个无盖的器皿是由棱长为3的正方体木料从顶部挖掉一个直径为2的半球而成(半球的底面圆在正方体的上底面，球心为上底面的中心)，则该器皿的表面积为( ) A．54 B． C． D． 【练6】(2020·新疆巴音郭楞蒙古自治州·高一期末)如图，直三棱柱，高为6，底边三角形的边长分别为3、4、5，以上下底面的内切圆为底面，挖去一个圆柱，求剩余部分几何体的体积. 课后练习 1. （2021高一下·越秀期末）卢浮宫玻璃金字塔是著名美籍华裔建筑设计师贝聿铭的重要作品之一，主玻璃金字塔是一个底边长为35m，高为21m的正四棱锥，则该主