8.4空间点、直线、平面之间的位置关系 -讲义（知识点+考点+练习）-2021-2022学年人教A版（2019）高一数学必修第二册（教师版+学生版）

8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系 一、平面的概念、画法及表示 平面的画法及表示 画 法 平面水平放置 平面竖直放置 表示 ①平行四边形的四个顶点：平面ABCD； ②对角顶点：平面AC或平面BD； ③希腊字母：平面α，平面β 反思感悟　(1)“平面”是平的(这是区别“平面”与“曲面”的依据)； (2)“平面”无厚薄之分； (3)“平面”无边界，它可以向四周无限延展，这是区别“平面”与“平面图形”的依据． 二、基本事实及应用 基本事实 内容 图形 符号 基本事实1 过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面 A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A，B，C∈α 基本事实2 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α 基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 P∈α且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l 推论 内容 图形 推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面 证明点、线共面问题的常用方法 (1)先由部分点、线确定一个面，再证其余的点、线都在这个平面内，即用“纳入法”． (2)先由其中一部分点、线确定一个平面α，其余点、线确定另一个平面β，再证平面α与β重合，即用“同一法”． 反思感悟　(1)证明三点共线的方法 (2)证明三线共点的步骤 三、空间中两直线的位置关系 空间两条直线的三种位置关系 判断空间两条直线位置关系的决窍 (1)建立空间观念全面考虑两条直线平行、相交和异面三种位置关系，特别关注异面直线． (2)重视长方体、正方体等常见几何体模型的应用，会举例说明两条直线的位置关系． 四、直线与平面的位置关系 位置关系：直线a在平面α内；直线a在平面α外；直线a与平面α相交；直线a与平面α平行 公共点：有无数个公共点；有且只有一个公共点；没有公共点 符号表示：a⊂α；a∩α＝A；a∥α； 图形表示： 在判断直线与平面的位置关系时，三种情形都要考虑到，避免疏忽或遗漏，另外，我们可以借助空间几何图形，把要判断关系的直线、平面放在某些具体的空间图形中，便于作出正确判断，避免凭空臆断． 五、平面与平面的位置关系 位置关系 两平面平行 两平面相交 公共点 没有公共点 有无数个公共点(在一条直线上) 符号表示 α∥β α∩β＝l 图形表示 利用正方体(或长方体)这个“百宝箱”能有效地判断与两个平面的位置关系有关命题的真假，另外先假设所给定的结论成立，看是否能推出矛盾，也是一种判断两平面位置关系的有效方法． 考点一 三个基本事实 【例1】(2020·全国高专题练习)如图，在正方体中，为正方形的中心，为直线与平面的交点．求证：，，三点共线． 【练1】(2020·重庆万州区·万州纯阳中学校)(多选)下面四个条件中，能确定一个平面的是( ) A．一条直线 B．一条直线和一个点 C．两条相交的直线 D．两条平行的直线 考点二 平面 【例2】(2020·江苏省苏州中学园区校高二期中)空间中三个平面，最多把空间分成区域的个数为( ) A． B． C． D． 【练2】(2021·江苏高一课时练习)若点A在直线b上，b在平面β内，则点A，直线b，平面β之间的关系可以记作( ) A．A∈b∈β B．A∈b⊂β C．A⊂b⊂β D．A⊂b∈β 考点三 空间点、直线、平面之间的位置关系 【例3】．(2020·合肥市第十一中学)若直线与平面平行，直线，则与位置关系：( ) A．平行 B．异面 C．相交 D．没有公共点 【练3】(2020·台州市书生中学)一条直线与两条平行线中的一条异面且垂直，则它与另一条的位置关系不可能 的是( ) A．相交 B．平行 C．异面 D．垂直 课后练习 1. （2021高一下·绍兴期末）已知 ， 是两条不同的直线， ， ， 是三个不同的平面，（    ） A. 若 ， ，则                               B. 若 ， ， ，则 C. 若 ， ， ，则       D. 若 ， ， ， ，则 2. （2021·上海模拟）下列说法中正确的是（    ） ①一条直线如果和一个平面平行，它就和这个平面内的无数条直线平行； ②一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任何直线无公共点； ③过直线外一点，有且仅有一个平面和已知直线平行； ④如果直线l和平面α平行，那么过平面α内一点和直线l平行的直