8.5空间直线、平面的平行 -讲义（知识点+考点+练习）-2021-2022学年人教A版（2019）高一数学必修第二册（教师版+学生版）

8.5 空间直线、平面的平行 一、基本事实4 文字语言：平行于同一条直线的两条直线平行 图形语言： 符号语言：直线a，b，c，a∥b，b∥c⇒a∥c 作用：证明两条直线平行 说明：基本事实4表述的性质通常叫做平行线的传递性 解题时首先找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行． 二、空间等角定理 1．定理 文字语言 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 符号语言 OA∥O′A′，OB∥O′B′⇒∠AOB＝∠A′O′B′或∠AOB＋∠A′O′B′＝180° 图形语言 作用 判断或证明两个角相等或互补 2.推论：如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等． 三、等角定理的应用 等角定理的结论是两个角相等或互补，在实际应用时一般是借助于图形判断是相等还是互补，还是两种情况都有可能． 四、直线与平面平行的判定定理 文字语言：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行 符号语言：a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α 图形语言： 利用直线和平面平行的判定定理证明线面平行的关键是在平面内找一条直线与已知直线平行，常利用平行四边形、三角形中位线、基本事实4等． 五、直线与平面平行的性质定理 文字语言：一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行 符号语言：a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b 图形语言： 线面平行的性质定理和判定定理经常交替使用，也就是通过线线平行得到线面平行，再通过线面平行得到线线平行． 六、平面与平面平行的判定定理 平面与平面平行的判定定理 文字语言 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行 符号语言 ⇒α∥β 图形语言 两个平面平行的判定定理是确定面面平行的重要方法．解答问题时一定要寻求好判定定理所需要的条件，特别是相交的条件，即与已知平面平行的两条直线必须相交，才能确定面面平行． 七、平面与平面平行的性质定理的应用 两个平面平行的性质定理 文字语言 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行 符号语言 α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b 图形语言 利用面面平行的性质定理判断两直线平行的步骤 (1)先找两个平面，使这两个平面分别经过这两条直线中的一条． (2)判定这两个平面平行(此条件有时题目会直接给出)． (3)再找一个平面，使这两条直线都在这个平面上． (4)由定理得出结论． 八、行问题的综合应用 (1)证明线面平行的两种方法：一是由线线平行推出线面平行；二是由面面平行推出线面平行． (2)线线平行、线面平行、面面平行三者之间可以相互转化，要注意转化思想的灵活运用． 考点一 线面平行 【例1】(2020·陕西西安市·高一期末)如图，在三棱柱中，侧棱底面，，为的中点，，．求证：平面； 【练1】(2021·全国高一课时练习)如图所示，已知正方体中，，分别是它们所在线段的中点，则满足平面的图形为( ) A．① B．①② C．② D．①②③ 考点二 面面平行 【例2】(2021·全国高一专题练习)下列四个正方体图形中，A，B，C为正方体所在棱的中点，则能得出平面ABC∥平面DEF的是 A． B． C． D． 【练2】(2020·浙江杭州市·高一期末)已知直线a与平面，能使的充分条件是( ) ① ② ③ ④ A．①② B．②③ C．①④ D．②④ 考法三 平行的综合运用 【例3】(2021·全国高一)已知直线a，b和平面，下列命题中正确的是( ) A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则或 【练3】(2020·全国高一课时练习)(多选题)在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点，给出下列四个推断： 其中推断正确的序号是( ) A．FG∥平面AA1D1D； B．EF∥平面BC1D1； C．FG∥平面BC1D1； D．平面EFG∥平面BC1D1 考点四 线面、面面平行的性质 【例4】(2020·全国高一课时练习)在如图所示的几何体中，、、分别是、、的中点，．求证：平面． 【练4】(2021·陕西省黄陵县中学高一期末)如图，梯形中，，E是的中点，过和点E的平面与交于点F.求证：. 课后练习 1. （2021·贵州模拟）如图， ， ， ， 分别是直三棱柱的顶点或所在棱的中点，则在下列图形中 的是（    ） A. B.  C. D.  2. （2021·马鞍山模拟）我国的古代医学著作《神农本草经》中最早记录了蜜蜂蜂巢的药用功效.蜜蜂的蜂巢是由数千个蜂房组