8.6空间直线、平面的垂直 -讲义（知识点+考点+练习）-2021-2022学年人教A版（2019）高一数学必修第二册（教师版+学生版）

8.6 空间直线、平面的垂直 一、异面直线所成的角 1．已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线a′与b′所成的角α叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)． 2．空间两条直线所成角α的取值范围是0°≤α≤90°. 注意点： (1)两条异面直线所成的角的大小，是由这两条异面直线的相互位置决定的，与点O的位置选取无关． (2)两条异面直线所成的角θ∈. (3)找出两条异面直线所成的角，要作平行移动(作平行线)，把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角． 求两异面直线所成角的三个步骤 (1)作：根据所成角的定义，用平移法作出异面直线所成的角． (2)证：证明作出的角就是要求的角． (3)计算：求角的值，常利用解三角形得出． 可用“一作二证三计算”来概括．同时注意异面直线所成角的范围是0°<θ≤90°. 二、直线与直线垂直 如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直．直线a与直线b垂直，记作a⊥b. 注意点： (1)当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，异面直线a与b互相垂直，记作a⊥b. (2)两条直线互相垂直，这两条直线可能是相交的，也可能是不相交的，即有共面垂直和异面垂直两种情形． 要证明两异面直线垂直，应先构造两异面直线所成的角．若能证明这个角是直角，即得到两直线垂直． 三、直线与平面垂直的定义 1．直线与平面垂直的定义及画法 定义 如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直 记法 l⊥α 有关概念 直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面，它们唯一的公共点P叫做垂足 图示 画法 画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直 2.过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条，该点与垂足间的线段叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离． 反思感悟　对于线面垂直的定义要注意“直线垂直于平面内的所有直线”说法与“直线垂直于平面内无数条直线”不是一回事． 四、直线与平面垂直的判定定理 文字语言：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 符号语言：l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，a∩b＝P⇒l⊥α 图形语言： 证明线面垂直的方法 (1)由线线垂直证明线面垂直： ①定义法(不常用)；②判定定理(最常用)，要着力寻找平面内的两条相交直线(有时需要作辅助线)，使它们与所给直线垂直． (2)平行转化法(利用推论)： ①a∥b，a⊥α⇒b⊥α；②α∥β，a⊥α⇒a⊥β. 五、直线与平面所成的角 直线与平面所成的角 有关概念 对应图形 斜线 一条直线与一个平面相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，如图中直线PA 斜足 斜线和平面的交点，如图中点A 射影 过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影，如图中斜线PA在平面α上的射影为直线AO 直线与平面所成的角 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，如图中∠PAO 规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是90°；一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0° 取值范围 设直线与平面所成的角为θ，则0°≤θ≤90° 求直线与平面所成的角的步骤 (1)作(找)——作(找)出直线和平面所成的角． (2)证——证明所作或找到的角就是所求的角． (3)求——常用解三角形的方法(通常是解由垂线、斜线、射影所组成的直角三角形)． (4)答． 六、直线与平面垂直的性质定理 文字语言 垂直于同一个平面的两条直线平行 符号语言 ⇒a∥b 图形语言 注意点： (1)直线与平面垂直的性质定理给出了判定两条直线平行的另一种方法． (2)直线与平面垂直的性质定理揭示了空间中平行与垂直关系的内在联系，提供了垂直与平行关系转化的依据． 证明线线平行的常用方法 (1)利用线线平行定义：证共面且无公共点． (2)利用基本事实4：证两线同时平行于第三条直线． (3)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行． (4)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直. (5)利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行． 七、二面角的概念 二面角 1．从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面． 2．画法： 3．记法：二面角α－l－β或二面角α－AB－β或二面角P－l－Q或二面角P－AB－Q. 4．二面角的平面角： (1)在二面角α－l－β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则