第四章 专题练习九 几何类比拓展探究（作业课件）-【四清导航】2020-2021学年九年级数学上册（北师大版）河南

九年级上册 数学 　第四章　图形的相似 北师版 专题练习九　几何类比拓展探究 1．(1)阅读理解：如图①，在四边形ABCD中，AB∥DC，E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分线，试判断AB，AD，DC之间的数量关系． 解决此问题可以用如下方法： 延长AE交DC的延长线于点F，易证△AEB≌△FEC，得到AB＝FC，从而把AB，AD，DC转化在一个三角形中即可判断AB，AD，DC之间的数量关系为_______________________； AD＝AB＋DC (2)问题探究：如图②，在四边形ABCD中，AB∥DC，AF与DC的延长线交于点F，E是BC的中点，若AE是∠BAF的平分线，试探究AB，AF，CF之间的数量关系，并证明你的结论； (3)问题解决：如图③，AB∥CF，AE与BC交于点E，BE∶EC＝2∶3，点D在线段AE上，且∠EDF＝∠BAE，试判断AB，DF，CF之间的数量关系，并证明你的结论． 2．如图①，已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GE⊥BC，垂足为E，GF⊥CD，垂足为F. (1)证明与推断：①求证：四边形CEGF是正方形； ②推断：的值为； 解：(2)AB＝AF＋CF，证明：如答图②，延长AE交DF的延长线于点G，∵点E是BC的中点，∴CE＝BE.∵AB∥DC，∴∠BAE＝∠G，∠B＝∠ECG，∴△ABE≌△GCE，∴AB＝GC.又∵AE平分∠FAB，∴∠BAE＝∠FAG，∴∠G＝∠FAG，∴AF＝FG.∵GC＝FG＋CF，∴AB＝AF＋CF (2)探究与证明：将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角(0°＜α＜45°)，如图②所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由； (3)拓展与运用：正方形CEGF在旋转过程中，当B，E，F三点在一条直线上时，如图③所示，延长CG交AD于点H.若AG＝6，GH＝2，则BC＝3. 解：(1)①证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，∠BCA＝45°.∵GE⊥BC，GF⊥CD，∴∠CEG＝∠CFG＝∠ECF＝90°，∴四边形CEGF是矩形，∠CGE＝∠ECG＝45°，∴EG＝EC，∴四边形CEGF是正方形 ②点拨：由①知四边形CEGF是正方形，∴∠CEG＝∠B＝90°，∠ECG＝45°，∴＝，GE∥AB，∴＝＝，故答案为 (2)连接CG，由旋转的性质可知∠BCE＝∠ACG＝α，∵在Rt△CEG和Rt△CBA中，∠ECG＝∠BCA＝45°，∴＝，＝，∴＝＝，∴△ACG∽△BCE，∴＝＝，∴线段AG与BE之间的数量关系为AG＝BE (3)点拨：∵∠CEF＝45°，点B，E，F三点共线，∴∠BEC＝135°.∵△ACG∽△BCE，∴∠AGC＝∠BEC＝135°，∴∠AGH＝∠CAH＝45°.又∵∠CHA＝∠AHG，∴△AHG∽△CHA，∴＝＝.设BC＝CD＝AD＝a，则AC＝a，∴由＝可得＝，∴AH＝a，∴DH＝AD－AH＝a，∴CH＝＝a，∴由＝可得＝，解得a＝3，即BC＝3 3．(河南中考)(1)问题发现：如图①，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC，BD交于点M.填空： ①的值为_________； ②∠AMB的度数为____________； (2)类比探究：如图②，在△OAB和△OCD中，∠AOB＝∠COD＝90°，∠OAB ＝∠OCD＝30°，连接AC交BD的延长线于点M.请判断的值及∠AMB的度数，并说明理由； (3)拓展延伸：在(2)的条件下，将△OCD绕点O在平面内旋转，AC，BD所在的直线交于点M，若OD＝1，OB＝，请直接写出当点C与点M重合时AC的长． 1 40° 解：(2)＝，∠AMB＝90°，理由如下：∵在Rt△COD中，∠DCO＝30°，∠DOC＝90°，∴CD＝2OD，∴OC＝OD，∴＝.同理可得＝，∴＝.又∵∠AOB＝∠COD＝90°，∴∠AOC＝∠BOD，∴△AOC∽△BOD，∴＝＝，∠CAO＝∠DBO，∴∠AMB＝180°－(∠MAB＋∠ABM)＝180°－(∠OAB＋∠ABM＋∠DBO)＝90° (3)①当点C如答图①与点M重合时，同(2)可证得△AOC∽△BOD，进而可求得∠AMB＝90°，＝.设BD＝x，则AC＝x.∵在Rt△COD中，∠OCD＝30°，OD＝1，∴CD＝2，∴BC＝x－2.∵在Rt△AOB中，∠OAB＝30°，OB＝，∴AB＝2OB＝2.又∵在Rt△AMB中，AC2＋BC2＝AB2，∴(x)2＋(x－2)2＝(2)2，解得x1＝3，x2＝－2(不合题意，舍去)，∴AC＝3； ②当点C如答图②与点M重合时，同(2)可证得△AOC∽△BOD，进而可求得∠AMB＝90°，＝.设BD＝x，则AC＝x.∵在Rt△AMB中，AC2＋BC2＝