第十二章 专题训练(五) 构造全等三角形的常用技巧（作业课件）-【四清导航】2020-2021学年八年级数学上册（人教版）河南

八年级上册 数学 第十二章　全等三角形 人教版 专题训练(五)　构造全等三角形的常用技巧 类型一　利用“角平分线”构造全等三角形 角平分线涉及的辅助线作法较多，在本章中，常用到的基本模型有如下三种(AD为∠MAN的平分线，均有△PAB≌△PAC)： (一)结合“ 过角平分线上一点作角两边的垂线”模型构造全等三角形 1．如图，已知∠AOB＝90°，OM是∠AOB的平分线，将三角尺的直角顶点P在射线OM上滑动，两直角边分别与OA，OB交于点C，D.求证：PC＝PD. (2)过点A作AD⊥x轴，垂足为D，过点C作CE⊥AD，垂足为E.同(1)可证△ACE≌△BAD，∴AE＝BD，CE＝AD.∵A(1，3)，B(－1，0)，∴BD＝2，AD＝3.∴CE＝3，DE＝AD－AE＝1，∴C(4，1) (3)过点A作AD⊥x轴，AE⊥y轴，垂足分别为D，E.同(1)可证△BAD≌△CAE，∴CE＝BD，AE＝AD.∵B(－4，0)，C(0，－1)，∴OB＝4，OC＝1，∴AE＝OB－BD＝OB－CE＝OB－(OC＋OE)＝3－AE，∴AE＝ eq \f(3,2) ，∴A(－ eq \f(3,2) ， eq \f(3,2) ) 2．如图，在四边形ABCD中，BC＞BA，AD＝CD，若BD平分∠ABC，求证：∠A＋∠C＝180°. (二)结合“过角平分线上一点作角平分线的垂线”模型来构造全等三角形 3．如图，BD是∠ABC的平分线，AD⊥BD，垂足为D，求证：∠BAD＝∠DAC＋∠C. 证明：延长AD交BC于点E，∵AD⊥BD，∴∠ADB＝∠BDE＝90°.∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD＝∠EBD.又∵BD＝BD， ∴△ABD≌△EBD，∴∠BAD＝∠BED，∵∠BED＝∠DAC＋∠C，∴∠BAD＝∠DAC＋∠C 4．如图，在△AOB中，OA＝OB，∠AOB＝90°，BD平分∠ABO交OA于点D，AE⊥BD于点E.求证：BD＝2AE. 类型二　利用“截长补短法”构造全等三角形 5．如图所示，AB∥CD，BE，CE分别是∠ABC，∠BCD的平分线，点E在AD上，求证：BC＝AB＋CD.(提示：在BC上截取BF，使BF＝BA，连接EF) 证明：在BC上截取BF＝AB，连接EF.先用SAS证△BAE≌△BFE，得∠A＝∠EFB.又AB∥CD，∴∠A＋∠D＝180°，又∠EFB＋∠EFC＝180°，∴∠D＝∠EFC，再用AAS证△EFC≌△EDC，∴FC＝CD，∴BC＝BF＋FC＝AB＋CD 类型三　利用“倍长中线法”构造全等三角形 如果问题中的有关线段比较分散，同时条件中又含有三角形的中线(或中点)，此时常将中线(或过中点的线段)延长一倍后再与原三角形的某一顶点连接，以构成“8”字形的全等三角形． (一)倍延中线 6．(2019－2020·济源期末改编)如图，在△ABC中，D为BC的中点． (1)求证：AB＋AC>2AD； (2)若AB＝5，AC＝3，求AD的取值范围． 解：(1)证明：延长AD至点E，使DE＝AD，则AE＝2AD，连接BE.∵D为BC中点，∴CD＝BD，又AD＝ED，∠ADC＝∠EDB，∴△ADC≌△EDB(SAS)，∴BE＝AC， 又∵AB＋BE>AE，∴AB＋AC>2AD (2)∵AB－BE<AE<AB＋BE，∴AB－AC<2AD<AB＋AC，又AB＝5，AC＝3，∴2<2AD<8.∴1<AD<4 (二)倍延过中点的线段 7．如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF.求证：BE＋CF＞EF. 证明：如图，延长ED到点G，使DG＝ED，连接CG，FG，∵CD＝BD，∠CDG＝∠BDE，DG＝DE，∴△DCG≌△DBE(SAS)， ∴CG＝BE， 再证△DEF≌△DGF(SAS)， ∴FG＝FE， 在△CFG中，CG＋CF＞FG， ∴BE＋CF＞EF 类型四　根据“一线三等角”构造全等三角形 如图，两种基本模型中“一线”指直线l，“三等角”指∠BAC＝∠ADB＝∠AEC(一般情况下都等于90°)，则有结论∠1＝∠3或∠2＝∠4. 8．已知在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，将△ABC放在平面直角坐标系中，如图所示． (1)如图①，若A(1，0)，B(0，3)，求C点坐标； (2)如图②，若A(1，3)，B(－1，0)，求C点坐标； (3)如图③，若B(－4，0)，C(0，－1)，求A点坐标． $