4.1数列的概念(典例分类精讲)-【巅峰课堂】2021-2022学年高二数学同步精讲+检测(人教A版2019选择性必修第二册)

4.1 数列的概念 【知识目录】 1、 数列概念 2、 简单的通项与递推 3、 Sn与an的关系 4、 累加法归类 5、 累积法归类 6、 周期数列归类 7、 数列的单调性和最值 8、 高中联赛题选。 典例分类精讲 · 一、数列概念 1.数列是特殊的函数，如可以把 2.数列可能具有函数的性质：单调性，周期性，最值等，如例题2 3.归纳猜想数列的通项公式。如例题3 【典型例题】 【例1】下面四个结论： ①数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数； ②数列若用图像表示，从图像上看都是一群孤立的点； ③数列的项数是无限的； ④数列通项的表达式是唯一的． 其中正确的是（ ）． A．①② B．①②③ C．②③ D．①②③④ 【答案】A 【分析】 根据数列的定义、数列的分类判断． 【详解】 数列的项数可以是有限的，也可以是无限的．数列作为一个函数，它的定义域是正整数集或正整数集的有限子集， 数列通项的表达式可以不唯一，例如，数列1，0，－1，0，1，0，－1，0，…的通项可以是，也可以是．故①②正确，③④错误． 故选：A． 【例2】若数列{an}满足an＝3n，则数列{an}是（ ） A．递增数列 B．递减数列 C．常数列 D．摆动数列 【答案】A 【分析】 作差法判断出an＋1>an，进而可以得出结论. 【详解】 an＋1－an＝3n＋1－3n＝2×3n>0，∴an＋1>an，即{an}是递增数列． 故选：A. 【例3】根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式，并在横线上和括号中分别填上第项的图形和点数． （1） （2） （3） 【答案】 （1）第项图形见解析，通项公式为，第项的点数为 （2）第项图形见解析，通项公式为，第项的点数为 （3）第项图形见解析，通项公式为，第项的点数为 【分析】 （1）根据图形中点数的规律可作出第项的图形，并根据各项的点数可归纳出数列的通项公式； （2）根据图形中点数的规律可作出第项的图形，并根据各项的点数可归纳出数列的通项公式； （3）根据图形中点数的规律可作出第项的图形，并根据各项的点数可归纳出数列的通项公式. （1） 解：设第项的点数为， ，，，，该数列的第项为， 数列的一个通项公式为，第项的图形如下图所示： （2） 解：设第项的点数为， ，，，，该数列的第项为， 数列的一个通项公式为，第项的图形如下图所示： （3） 解：设第项的点数为， ，，，，该数列的第项为， 数列的一个通项公式为，第项的图形如下图所示： 【例4】写出下列数列的一个通项公式． （1）－，，－，，…； （2）2，3，5，9，17，33，…； （3）…； （4）1，，2，，…； （5）-…； （6）2，6，12，20，30，…. 【答案】（1）an＝(－1)n；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）an＝n(n＋1)． 【分析】 根据题中所给数据，逐一分析即可得出结论. 【详解】 解：（1）符号规律(－1)n，分子都是1，分母是n2＋1，∴an＝(－1)n； （2）2＝1＋1， 3＝2＋1， 5＝22＋1， 9＝23＋1， 17＝24＋1， 33＝25＋1， ∴； （3）， ∴； （4），∴； （5）， ∴； （6）2＝1×2， 6＝2×3， 12＝3×4， 20＝4×5， 30＝5×6，∴an＝n(n＋1)． 【对点实战】 1.下列叙述正确的是（ ） A．数列1，3，5，7与7，5，3，1是相同的数列 B．数列0，1，2，3，…可以表示为{n} C．数列0，1，0，1，…是常数列 D．数列是递增数列 【答案】D 【分析】 A由数列的概念即可判断；B验证首项即可判断；C根据常数列的概念即可判断；D结合通项公式，判断 an＋1－an的符号即可得出结论. 【详解】 A由数列的概念可知数列1，3，5，7与7，5，3，1是不同的数列，故A错误； B因为首项是0，所以不能表示为{n}，故B错误； C根据常数列的概念可知数列0，1，0，1，…不是常数列，故C错误； D由数列的通项an＝知， an＋1－an＝－＝>0， 即数列{}是递增数列，故D正确；故选：D． 2.写出下列数列的一个通项公式． （1），，，，…； （2）1，0，，0，，0，，…； （3）0.8，0.88，0.888，…； （4），，，，…． 【答案】 （1） （2） （3） （4） 【分析】 观察并总结各项数列的规律，直接写出对应的通项公式即可. （1） 所给数列可写成，，，，…， ∴原数列的一个通项公式为． （2） 由题设数列的奇偶项的规律，易知一个通项公式为． （3） 由原数列可写成，，，…， ∴原数列的一个通项公式为． （4） 由数列可写成，，，，…， ∴原数列的一个通项公式为． 3.图中由火柴棒拼成的一列图形中，第