专题08 《图形的相似》中的三角形问题-2021-2022学年九年级数学尖子生考点培优专题训练（苏科版，图形的相似）

专题08 《图形的相似》中的三角形问题 （满分120分 时间：60分钟） 班级 姓名 得分 一、单项选择题： 1. 如图，是等边三角形的边上一点，且，现将折叠，使点与点重合，折痕为，点、分别在边和上，则的值为 A. B. C. D. 2. 如图，是等边三角形，点，分别在，上，且，，，相交于点，连接下列结论正确的有      ；；； A. B. C. D. 3. 如图，已知和均为等边三角形，点在边上，与相交于点，图中相似三角形共有  对． A. B. C. D. 4. 已知，如图一张三角形纸片，边长为，边上的高为，在三角形内从左到右叠放边长为的正方形小纸片，第一次小纸片的一条边都在上，依次这样往上叠放上去，则最多能叠放的正方形的个数是    A. B. C. D. 5. 如图，已知点是直角三角形的斜边上的一点，，，，则      A. B. C. D. 6. 如图，已知 的三边长为 ， ， ，且 ，若平行于三角形一边的直线 将 的周长分成相等的两部分，设图中的小三角形、、的面积分别为，则的大小关系是    ． A.   B. C. D. 7. 如图，在一块斜边长为的直角三角形木板上截取一个正方形，点在边上，点在斜边上，点在边上，若，则这块木板截取正方形后，剩余部分的面积为    A. B. C. D. 8. 如图示，若内一点满足，则点为的布洛卡点．三角形的布洛卡点  是法国数学家和数学教育家克洛尔  于年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意，年，布洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛卡   重新发现，并用他的名字命名．问题：已知在等腰直角三角形中，，若点为的布洛卡点，，则 A. B. C. D. 二、填空题 9. 顶角为的等腰三角形称为黄金三角形．如图，，，都是黄金三角形，已知，则________． 10. 如图，在矩形中，，点是的中点，点在上，，点、在线段上．若是等腰三角形且底角与相等，则______． 11. 如图，直线，等腰直角三角形的三个顶点、、分别在直线、、上，，交于点，已知与的距离为，与的距离为，则的长为_______ 12. 如图，是线段上的任意一点端点除外，分别以为斜边并且在的同一侧作等腰直角三角形和等腰直角三角形，连接，交于点，连接，交于点以下三个结论：；；其中，正确的结论为____________填序号． 13. 如图，在矩形中，，，点是对角线上的一个动点，连接，以为斜边作的直角三角形，使点和点位于两侧，点从点到点的运动过程中，点的运动路径长是___________． 14.  如图，等边的边长为，点从点出发，沿以每秒个单位的速度向点匀速运动，当点到达点时停止运动，设点运动的时间是秒．将线段的中点绕点按顺时针旋转得点，点随点的运动而运动，连接、在点从向运动的过程中，当为直角三角形时的值为_________________． 三、解答题 15. 如图，在等腰三角形中，，，点是边上的一个动点不与、重合，在上取一点，使． 求证：∽； 设，，求关于的函数关系式并写出自变量的取值范围； 当是等腰三角形时，求的长． 16. 我们知道，三角形的三条中线一定会交于一点，这一点就叫做三角形的重心．重心有很多美妙的性质，如关于线段比、面积比就有一些“漂亮”结论，利用这些性质可以解决三角形中的若干问题．请你利用重心的概念完成如下问题： 若是的重心如图，连接并延长交于，证明：． 若是的一条中线如图，是上一点，且满足，试判断点是的重心吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由． 17. 如图，为锐角三角形，是边上的高，正方形的一边在上，顶点，分别在，上，已知，． 求证：∽； 求正方形的边长与面积． 18. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线与轴交于点，与轴交于点，二次函数的图象过、两点，且与轴交于另一点，点为线段上的一个动点，过点作直线平行于轴交于点，交二次函数的图象于点． 求二次函数的表达式； 当以、、为顶点的三角形与相似时，求线段的长度； 已知点是轴上的点，若点、关于直线对称，求点的坐标． 19. 如图，是线段的中点，分别以、为直角顶点的和均是等腰直角三角形，且在线段的同侧．                                                                                       和的数量关系为          ，和的位置关系为          ． 在图中，以点为位似中心，作与位似，是所在直线上的一点，连接、，分别得到图和图． 在图中，点在上，与的相似比为，是的中点求证：，且． 在图