专题04 利用基本不等式求最值-2021-2022学年高一数学特色专题卷（苏教版2019必修第一册）

专题04 利用基本不等式求最值（特色专题卷） 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！ 1． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（2020秋•西湖区月考）若正数a，b满足a+b＝6，则ab的最大值为（　　） A．5 B．6 C．7 D．9 【分析】利用基本不等式即可得出ab的最大值． 【解答】解：∵正数a，b满足a+b＝6， ∴ab9，当且仅当a＝b＝3时取等号． 则ab的最大值为9． 故选：D． 2．（2021•山东模拟）已知x＞3，y＝x，则y的最小值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】xx﹣33，由基本不等式可知y≥5，即可得最小值． 【解答】解：因为y＝xx﹣33，又因为x＞3，所以x﹣3＞0， 所以y≥5，当且仅当x＝4时，等号成立， 故选：D． 3．（2021春•湛江期末）若x＞1，则4x+1的最小值等于（　　） A．6 B．9 C．4 D．1 【分析】由4x+14（x﹣1）5，利用基本不等式即可求解． 【解答】解：由x＞1，得x﹣1＞0， ∵4x+14（x﹣1）5≥25＝9， 当且仅当4（x﹣1）， 即x时，等号成立． 故选：B． 4．（2021•青羊区校级开学）已知x＞0，y＞0，且2x+8y＝xy，则x+y的最小值是（　　） A．10 B．15 C．18 D．23 【分析】由题意化简可得1，再化简x+y＝（x+y）（）10，从而利用基本不等式求最值． 【解答】解：∵x＞0，y＞0，2x+8y＝xy，∴1， ∴x+y＝（x+y）（）10≥210＝18， （当且仅当，即x＝12，y＝6时，等号成立） 故选：C． 5．（2021•东湖区校级开学）下列各题中结论正确的是（　　） A．当x＞1时，x2 B．当x＞0时，2 C．当x＞2时，2 D．当0＜x＜1时，x2 【分析】根据已知条件，结合基本不等式的公式，以及函数的单调性，即可求解． 【解答】解：当x＞0时，，当且仅当，即x＝1时等号成立， ∵x＞0且x≠1， ∴x的最小值为2不成立，故A、D错； 当x＞0时，0，当且仅当x＝1时，等号成立，故B正确； 当 x＞2时，，因此当时，即x＝2时有最小值，而 x＞2，故C错误， 故选：B． 6．（2021•江阴市开学）已知x＞1，则的最小值是（　　） A． B． C． D．2 【分析】化简x﹣12，结合x＞1，利用基本不等式求最值即可． 【解答】解：∵x＞1，∴x﹣1＞0． ∴ ， （当且仅当，即时，等号成立）． 故选：A． 7．（2021秋•沙坪坝区校级月考）若x＞0，y＞0且x+y＝xy，则的最小值为（　　） A．3 B． C． D． 【分析】先把x+y＝xy转化为1，再将2x+y，根据基本不等式即可求出． 【解答】解：∵x＞0，y＞0且x+y＝xy， ∴1， ∴2x+y＝（2x+y）（）＝33+23+2， 当且仅当，即x＝1，y＝1时取等号， 故的最小值为3+2， 故选：D． 8．（2021•湖北开学）已知a＞0，b＞0且a+b＝1，若不等式恒成立．m∈N+，则m的最大值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】恒成立问题转化为最值问题，利用基本不等式求出最值，由此即可求解． 【解答】解：a＞0，b＞0且a+b＝1，则（a+b）（）＝22+24，当且仅当a＝b时取等号， ∴m＜4， ∵m∈N+， ∴m的最大值为3， 故选：A． 2． 多选题（共4小题，满分20分，每小题5分） 9．（2021秋•深圳月考）设a，b∈R且ab＞0，则下列不等式正确的是（　　） A．a2+b2≥2ab B． C． D． 【分析】作差可知A正确，由基本不等式可知D正确；举例说明B、C错误即可． 【解答】解：∵a2+b2﹣2ab＝（a﹣b）2≥0， ∴a2+b2≥2ab，故A正确； 当a＝b＝﹣1时，a+b＝﹣2，22， 故B错误； 当a＝b＝﹣1时，2，2， 故C错误； ∵ab＞0，∴，0， 故2，（当且仅当，即a＝b时，等号成立）， 故D正确； 故选：AD． 10．（2021春•湖北期中）已知正实数a，b满足a+b＝ab，则（　　） A．a+b≥4 B．ab≥6 C． D． 【分析】利用基本不等式依次判断各选项即可． 【解答】解：对于A，B选项：由ab＝a+b，即，解得，则a+b≥4，当且仅当a＝b时，取等号，∴A正确；则B选项错误； 对于C选项：由ab＝a+b，可得，那么（a+2b）（），当且仅当ab时，取等号，∴C正确； 对于D选项：