4.3.1.2等比数列的性质及应用（备作业）-【上好课】2021-2022学年高二数学同步备课系列（人教A版2019选择性必修第二册）

课时作业(八)　等比数列的性质及应用 [练基础] 1．已知等比数列{an}，a1＝1，a3＝，则a5等于(　　) A．± B．－ C. D．± 解析：根据等比数列的性质可知a1a5＝a⇒a5＝＝.故选C. 答案：C 2．已知等比数列{an}中，an>0，a1，a99是方程x2－10x＋16＝0的两根，则a40a50a60的值为(　　) A．32 B．64 C．256 D．±64 解析：由题意得，a1a99＝16，∴a40a60＝a＝a1a99＝16，又∵a50>0，∴a50＝4，∴a40a50a60＝16×4＝64.故选B. 答案：B 3．已知数列：4，a,12，b中，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，则b等于(　　) A．20 B．18 C．16 D．14 解析：由题意可得2a＝4＋12＝16⇒a＝8，又122＝8b⇒b＝18.故选B. 答案：B 4．已知正项等比数列{an}，满足a2·a·a2 020＝16，则a1·a2·…·a1 017＝(　　) A．41 017 B．21 017 C．41 018 D．21 018 解析：由a2·a·a2 020＝16可得(a7a1 011)2＝16， 所以a7a1 011＝4，a509＝2， 所以a1·a2·…·a1 017＝(a7a1 011)508·a509＝21 017. 故选B. 答案：B 5． 在和8之间插入3个数，使它们与这两个数依次构成等比数列，则这3个数的积为________． 解析：设插入的3个数依次为a，b，c，即，a，b，c,8成等比数列，由等比数列的性质可得b2＝ac＝×8＝4，因为a2＝b>0，∴b＝2(舍负)．所以这3个数的积为abc＝4×2＝8. 答案：8 6．等差数列{an}中，a4＝10，且a3，a6，a10成等比数列，求数列{an}前20项的和S20. 解析：设数列{an}的公差为d， 则a3＝a4－d＝10－d， a6＝a4＋2d＝10＋2d a10＝a4＋6d＝10＋6d 由a3，a6，a10成等比数列得a3a10＝a 即(10－d)(10＋6d)＝(10＋2d)2 整理得10d2－10d＝0 解得d＝0或d＝1 当d＝0时，a1＝a4＝10，∴S20＝20×10＝200； 当d＝1时，a1＝a4－3d＝10－3＝7 ∴S20＝20×7＋×1＝330. [提能力] 7．(多选题)设{an}(n∈N*)是各项为正数的等比数列，q是其公比，Kn是其前n项的积，且K5<K6，K6＝K7>K8，则下列选项中成立的是(　　) A．0<q<1 B．a7＝1 C．K9>K5 D．K6与K7均为Kn的最大值 解析：根据题意，分析选项．对于B，若K6＝K7，则a7＝＝1，B正确；对于A，由K5<K6可得，a6＝>1，则q＝∈(0,1)，故A正确；对于C，由{an}是各项为正数的等比数列且q∈(0,1)可得数列单调递减，则有K9<K5，故C错误；对于D，结合K5<K6，K6＝K7>K8，可得D正确．故选ABD. 答案：ABD 8． 等比数列{an}是递减数列，前n项的积为Tn，若T13＝4T9，则a8a15＝________. 解析：∵T13＝4T9， ∴a1a2…a9a10a11a12a13＝4a1a2…a9， ∴a10a11a12a13＝4. 又∵a10·a13＝a11·a12＝a8·a15， ∴(a8·a15)2＝4，∴a8a15＝±2. 又∵{an}为递减数列，∴q>0，∴a8a15＝2. 答案：2 9．已知数列{an}和{bn}分别满足： 和 试证明数列{an}与{bn}的公共项由小到大组成的数列{cn}是等比数列． 证明：由题设有an＝2n，bn＝3n＋2， 通过观察，容易发现c1＝a3＝b2＝8， 设cn＝am＝bk，则cn＝2m＝3k＋2， 又∵am＋1＝2m＋1＝2·2m＝2·(3k＋2)＝3·(2k＋1)＋1， ∴am＋1∉{bn}， ∵am＋2＝2m＋2＝4·2m＝4·(3k＋2)＝3·(4k＋2)＋2， ∴am＋2∈{bn}， ∴cn＋1＝2m＋2＝4·2m＝4·cn. ∴＝4. 由此可见，{cn}是以8为首项，公比为4的等比数列． [战疑难] 10．在等差数列{an}中，若a10＝0，则有等式a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19，n∈N*)．类比上述性质，相应地，在等比数列{bn}中，若b9＝1，则有等式________________成立． 解析：对应于等差数列和的性质，等比数列具有相应积的性质，分析已知条件，注意1＋19＝2×10，又1＋17＝2×9，猜想：b1b2…bn＝b1b2…b17－n(n<17，n∈N*)． 事实上，当n≤8时，17－n≥9， 有＝bn＋1bn＋2…