第十一章 立体几何初步 习题课 平行与垂直的综合问题（学案）-【成才之路】2021-2022学年高中新教材数学必修第四册新课程同步学习指导（人教B版）

数学（必修·第四册 RJB） ∵ 平面 PAC⊥平面 PBC,AD⊂平面 PAC,且 AD⊥ PC,平面 PAC∩平面 PBC = PC, ∴ AD⊥平面 PBC, 又∵ BC⊂平面 PBC,∴ AD⊥BC. ∵ PA⊥平面 ABC,BC⊂平面 ABC, ∴ PA⊥BC, ∵ AD∩PA = A,∴ BC⊥平面 PAC, ∵ AC⊂平面 PAC,∴ BC⊥AC. 习题课　 平行与垂直的综合问题 关键能力·攻重难 题型探究 　 　 典例 1:(1)如图,连接 OE,因为 O 为平行四边形 ABCD 对角线的交 点, 所以 O 为 AC 的中点. 又 E 为 PC 的中点,所以 OE∥PA. 因为 OE⊂平面 BDE,PA⊄平面 BDE, 所以直线 PA∥平面 BDE. (2)因为 OE∥PA,PA⊥PD,所以 OE⊥PD. 因为 OP = OC,E 为 PC 的中点,所以 OE⊥PC. 又 PD⊂平面 PCD,PC⊂平面 PCD,PC∩PD = P, 所以 OE⊥平面 PCD. 因为 OE⊂平面 BDE, 所以平面 BDE⊥平面 PCD. 　 　 对点练习 1:(1)在平行六面体 ABCD - A1B1C1D1 中,AB∥A1B1 . 因为 AB⊄平面 A1B1C,A1B1⊂平面 A1B1C,所以 AB∥平面 A1B1C. (2)在平行六面体 ABCD - A1B1C1D1 中,四边形 ABB1A1 为平行四 边形. 又因为 AA1 = AB,所以四边形 ABB1A1 为菱形, 因此 AB1⊥A1B. 因为 AB1⊥B1C1,BC∥B1C1,所以 AB1⊥BC. 因为 A1B∩BC = B,A1B⊂平面 A1BC,BC⊂平面 A1BC, 所以 AB1⊥平面 A1BC. 因为 AB1⊂平面 ABB1A1,所以平面 ABB1A1⊥平面 A1BC. 　 　 典例 2:(1)证明:∵ AC = AD2 + CD2 = 2 2, ∠BAC = ∠ACD = 45°,AB = 4, ∴ 在△ABC 中,BC2 = AC2 + AB2 - 2AC × AB × cos 45° = 8, ∴ AB2 = AC2 + BC2 = 16,∴ AC⊥BC. ∵ 平面 ACD⊥平面 ABC, 平面 ACD∩平面 ABC = AC,BC⊂平面 ABC, ∴ BC⊥平面 ACD. (2)∵ AD∥平面 BEF,AD⊂平面 ACD,平面 ACD∩平面 BEF = EF, ∴ AD∥EF,∵ E 为 AC 的中点,∴ EF 为△ACD 的中位线. 由(1)知,几何体 F -BCE 的体积 VF -BCE =VB -CEF = 1 3 × S△CEF ×BC, ∵ S△CEF = 1 4 S△ACD = 1 4 × 1 2 × 2 × 2 = 1 2 , ∴ VF - BCE = 1 3 × 1 2 × 2 2 = 2 3 . 　 　 对点练习 2:(1)证明:因为 AF = BF,∠AFB = 60°,所以△AFB 为等 边三角形. 又 G 为 FB 的中点,所以 AG⊥FB. 在等腰梯形 ABCD 中,E,F 分别是 CD,AB 的中点,所以 EF⊥AB. 于是 EF⊥AF,EF⊥BF. 又 AF∩BF = F,所以 EF⊥平面 ABF. 因为 AG⊂平面 ABF,所以 AG⊥EF. 又 AG⊥BF,EF∩BF = F,所以 AG⊥平面 BCEF. (2)如图,连接 CG. 因为在等腰梯形 ABCD 中,CD = 2,AB = 4,点 E,F 分别是 CD,AB 的中点,G 为 FB 的中点,所 以 EC = FG = BG = 1,从而 CG∥EF. 因为 EF⊥平面 ABF,所以 CG⊥平面 ABF. 如图,过点 G 作 GH⊥AB 于 H,连接 CH. 由三垂线定理可得 CH⊥AB, 所以∠CHG 为二面角 C - AB - F 的平面角. 在 Rt△BHG 中,BG = 1,∠GBH = 60°,所以 GH = 32 . 在 Rt△CGB 中,CG⊥BG,BG = 1,BC = 2,所以 CG = 1. 因为 CG⊥平面 ABF,GH⊂平面 ABF,所以 CG⊥GH. 在 Rt△CGH 中,可得 tan∠CHG = CGGH = 1 3 2 = 2 33 , 所以二面角 C - AB - F 的正切值为2 33 . 　 　 典例 3:(1)证明:由题设知, 平面 CMD⊥平面 ABCD,交线为 CD. 因为 BC⊥CD,BC⊂平面 AB- CD,所以 BC⊥平面 CMD, 又 DM⊂平面 CMD,所以 BC⊥DM. 因为 M 为CD ( 上异于 C,D 的点, 且 DC 为直径,所以 DM⊥CM. 又 BC∩CM = C,所以 DM⊥平面 BMC.