第十一章 11.2 平面的基本事实与推论（学案）-【成才之路】2021-2022学年高中新教材数学必修第四册新课程同步学习指导（人教B版）

数学（必修·第四册 RJB） ∴ V圆台 = 1 3 πh(R 2 + Rr + r2) = 13 π × 3 × [(2 3) 2 + 2 3 × 3 + ( 3) 2] = 21π. 所以圆台的体积为 21π. 　 　 对点练习 3:如图所示,正四棱台 ABCD - A1B1C1D1 中,A1B1 = 10 cm,AB = 20 cm. 取 A1B1 的中点 E1, AB 的中点 E,连接 E1E. 则 E1E 是侧面 ABB1A1 的高. 设 O1,O 分别是上、下底面的中心,连接 O1E1,O1O,OE, 则四边形 EOO1E1 是直角梯形. 由 S侧 = 4 × 1 2 (10 + 20)·E1E = 780,得 EE1 = 13. 在直角梯形 EOO1E1 中,O1E1 = 1 2 A1B1 = 5,OE = 1 2 AB = 10, ∴ O1O = E1E2 - (OE - O1E1) 2 = 12, V正四棱台 = 1 3 × 12 × (10 2 + 202 + 10 × 20) = 2 800(cm3) . 故正四棱台的体积为 2 800 cm3 . 　 　 典例 4:(1)B　 (2)B　 (3)4π3 (1)设球的半径为 R,则由已知得 43 πR 3 = 32π3 ,解得 R = 2. 故球的 表面积 S表 = 4πR2 = 16π. (2)设球心为 O,截面圆心为 O1,连接 OO1,则 OO1 垂直于截面圆 O1,如图所示. 在 Rt△OO1A 中,O1A = 5 cm,OO1 = 2 cm, ∴ 球的半径 R = OA = 22 + ( 5) 2 = 3(cm), ∴ 球的体积 V = 43 × π × 3 3 = 36π(cm3) . (3)由题意可知球是正方体的内切球,因此球的半径为 1,其体积为 4π 3 . 　 　 对点练习 4:A　 由题意可知,该长方体的体对角线即为球的直径, 其长度为 2 3,从而球的半径为 3,体积为 4 3π. 故选 A. 易错警示 　 　 典例 5: 3π 　 因为 S1 = 6a 2,S2 = π·r· 2r = 2πr2, 所以 S1 S2 = 6a 2 2πr2 = 3 2π ,故 a r = 1,所以 V1 V2 = a 3 1 3 πr 3 = 3π . 　 　 对点练习 5:D　 由题意设上、下底面半径分别为 r,4r,截面半径为 x,圆台的高为 2h,则有x - r3r = 1 2 ,∴ x = 5 2 r, 则 V上 V下 = 1 3 πh( r 2 + rx + x2) 1 3 πh(x 2 + 4rx + 16r2) = 39129. 课堂检测·固双基 1. B　 根据祖暅原理进行判断,故选 B. 2. D　 设长方体的过一个顶点的三条棱长分别为 x,2x,3x( x > 0),又对 角线长为 2 14,则 x2 + (2x) 2 + (3x) 2 = (2 14) 2,解得 x = 2. ∴ 三条 棱长分别为 2,4,6. ∴ V长方体 = 2 × 4 × 6 = 48. 3. 7 33 π　 设圆台的上、下底面半径分别为 r 和 R,母线长为 l,高为 h,则 S上 = πr2 = π,S下 = πR2 = 4π,∴ r = 1,R = 2,S侧 = π( r + R) l = 6π, ∴ l = 2,∴ h = 3, ∴ V = 13 π(1 2 + 22 + 1 × 2) × 3 = 7 33 π. 4. 4　 V = 13 ·S·h = 1 3 ·S△PAC·PB = 1 3 × 1 2 × 2 × 4 × 3 = 4. 5. 16π 　 设圆柱的底面半径为 r,则由题意可知 2πr = 4, ∴ r = 2π ,故圆柱的体积 V = π 2 π( ) 2 × 4 = 16π . 11. 2　 平面的基本事实与推论 必备知识·探新知 　 　 知识点 1　 A∈l　 A∉l　 A∈α　 A∉α　 l⊂α　 l⊄α 　 　 知识点 2　 1. 有且只有　 两个点　 这个平面内　 l⊂α　 公共直线　 2. 经过一条直线和这条直线外一点　 经过两条相交直线　 经过两条平 行直线 关键能力·攻重难 题型探究 　 　 典例 1:(1)点 P∈直线 AB;(2)点 C∉直线 AB;(3)点 M∈平面 AC; (4)点 A1∉平面 AC;(5)直线 AB∩直线 BC = 点 B;(6)直线 AB⊂平面 AC;(7)平面 A1B∩平面 AC = 直线 AB. 　 　 对点练习 1:(1)M∈a,a⊂α,M∈α (2)∈　 ∉　 ⊄　 AC (3)符号语言表示:α∩β∩γ = P,α∩β = PA,α∩γ = PB,β∩γ = PC. 图形表示: