考案(四) 本册综合测试题-【成才之路】2021-2022学年高中新教材数学选择性必修第一册新课程同步学习指导（人教A版）

▲ 227 ▲ ▲ 228 ▲ 因为 e双 e椭 = 73 ,所以 a m = 7 3 ,解得 a = 7,m = 3. 因为椭圆和双曲线的半焦距为 13,所以 b2 = 36,n2 = 4. 所以椭圆方程为 x2 49 + y2 36 = 1,双曲线方程为 x2 9 - y2 4 = 1. ②焦点在 y 轴上,椭圆方程为 x 2 36 + y2 49 = 1,双曲线方程为 y2 9 - x2 4 = 1. 21. (1)由已知可设 C2 的方程为 y2 = 4cx,其中 c = a2 - b2 . 不妨设 A,C 在第一象限,由题设得 A,B 的纵坐标分别为 b 2 a , - b2 a ;C,D 的纵坐标分别为 2c, - 2c,故 |AB | = 2b 2 a , |CD | = 4c. 由 |CD | = 43 |AB |得 4c = 8b2 3a ,即 3 × c a = 2 - 2 c a( ) 2 . 解得 ca = - 2(舍 去), ca = 1 2 . 所以 C1 的离心率为 1 2 . (2)由(1)知 a = 2c,b = 3c,故 C1: x2 4c2 + y 2 3c2 = 1. 设 M(x0,y0),则 x20 4c2 + y20 3c2 = 1,y20 = 4cx0,故 x20 4c2 + 4x0 3c = 1. ① 由于 C2 的准线为 x = - c,所以 |MF | = x0 + c,而 |MF | = 5,故 x0 = 5 - c,代 入①得(5 - c) 2 4c2 +4(5 - c)3c =1,即 c 2 -2c -3 =0,解得 c = -1(舍去),c =3. 所以 C1 的标准方程为 x2 36 + y2 27 = 1,C2 的标准方程为 y 2 = 12x. 22. (1)由题意得 F(1,0),l 的方程为 y = k(x - 1)(k > 0) . 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 由 y = k(x - 1) y2 = 4x{ ,得 k 2 x2 - (2k2 + 4)x + k2 = 0. Δ = 16k2 + 16 > 0,故 x1 + x2 = 2k2 + 4 k2 . 所以 |AB | = | AF | + |BF | = (x1 + 1) + (x2 + 1) = 4k2 + 4 k2 . 由题设知 4k2 + 4 k2 = 8,解得 k = - 1(舍去)或 k = 1. 因此 l 的方程为 y = x - 1. (2)由(1)得 AB 的中点坐标为(3,2),所以 AB 的垂直平分线方程为 y - 2 = - (x - 3),即 y = - x + 5. 设所求圆的圆心坐标为(x0,y0),则 y0 = - x0 + 5, (x0 + 1) 2 = (y0 - x0 + 1) 2 2 + 16. { 解得 x0 = 3y0 = 2{ 或 x0 = 11, y0 = - 6. { 因此所求圆的方程为(x -3)2 + (y -2)2 =16 或(x -11)2 + (y +6)2 =144. 考案(四) 1. B　 因为直线 y = 2x - 3 的斜率为 2,所以直线 l 的斜率为 - 12 . 又直线 l 过 点( - 3,0),故所求直线的方程为 y = - 12 (x + 3) . 2. A　 由已知 a·b = - 2 - λ - 2 = - λ - 4, | a | = 1 + λ2 + 4 = 5 + λ2 , | b | = 4 + 1 + 1 = 6, ∴ cos 120° = a·b| a |· | b | = - λ - 4 5 + λ2· 6 = - 12 , 解得 λ = 17 或 λ = - 1. 3. C　 圆的方程 x2 + y2 - 2x - 1 = 0 可变形为( x - 1) 2 + y2 = 2,可得圆心(1, 0),半径为 2,关于直线 2x - y + 3 = 0 对称的圆半径不变,排除 A,B;两圆 圆心连线段的中点在直线 2x - y + 3 = 0 上,C 中圆( x + 3) 2 + ( y - 2) 2 = 2 的圆心为( - 3,2),验证适合,故选 C. 4. B　 依题意知,a2 = m2 + 12,b2 = 4 - m2,所以 c = a2 + b2 = 16 = 4. 所以 焦距 2c = 8. 5. B　 ∵ 点 P 为圆 x2 + y2 = 1 上的一个动点, 且点 A( - 1,0),B(1,0)为两个定点,∴ |PA | 2 + |PB | 2 = 4, ∵ ( |PA | + |PB | ) 2≤2( |PA | 2 + |PB | 2) = 8, ∴ |PA | + |PB