考案(三) 第三章 圆锥曲线的方程-【成才之路】2021-2022学年高中新教材数学选择性必修第一册新课程同步学习指导（人教A版）

▲ 225 ▲ ▲ 226 ▲ 何知识,该点应是过 A、B 两点的圆与小路所在的直线相切时的切点,以小 路所在直线为 x 轴,过 B 点与 x 轴垂直的直线为 y 轴上建立直角坐标系. 由 题意,得 A( 2, 2)、B(0,2 2),设圆的方程为(x - a)2 + (y - b)2 = b2 . 由 A、B 在圆上,得 a =0 b = 2{ ,或 a =4 2 b =5 2{ ,由实际意义知 a =0 b = 2{ . ∴ 圆的方程为 x2 + (y - 2)2 =2,切点为(0,0),∴ 观景点应设在 B 景点在小路的投影处. 16. 34 , + ∞[ )　 如右图所示,设 P( x,y)是圆 x 2 + y2 = 1 上的点,则 y + 2x + 1 表示过 P ( x, y) 和 Q( - 1, - 2)两点的直线 PQ 的斜率,过点 Q 作 圆的两条切线 QA,QB,由图可知 QB⊥x 轴,kQB 不存在,且 kQP≥kQA . 设切线 QA 的斜率为 k,则它的方程为 y + 2 = k(x + 1),由圆心到 QA 的距离为 1,得 | k - 2 | k2 + 1 = 1,解得 k = 34 . 所以 y + 2 x + 1的取值范围是 3 4 , + ∞[ ). 17. (1)当直线斜率不存在时,方程 x = 2 适合题意. 当直线斜率存在时,设直线方程为 y + 1 = k(x - 2), 即 kx - y - 2k - 1 = 0,则 |2k + 1 | k2 + 1 = 2,解得 k = 34 . ∴ 直线方程为 3x -4y -10 =0. ∴ 所求直线方程为 x =2 或 3x -4y -10 =0. (2)点 P 且与原点距离最大的直线方程应为过点 P 且与 OP 垂直的直线, kOP = - 1 2 ,则所求直线的斜率为 2. ∴ 直线方程为 y - ( - 1) = 2(x - 2),即 2x - y - 5 = 0. 18. 动圆 x2 + y2 - (4m + 2)x - 2my + 4m2 + 4m + 1 = 0 化为标准方程为:( x - 2m - 1) 2 + (y - m) 2 = m2(m≠0),圆心为(2m + 1,m),r = |m | , 令 x = 2m + 1, y = m,{ 消去 m 得,x - 2y - 1 = 0,x≠1, 所以动圆圆心的轨迹方程为 x - 2y - 1 = 0,x≠1. 19. (1)当 l 过原点时,设 l 方程为 y = kx,∴ 2 = k,∴ l 方程为 y = 2x, 当 l 不过原点时,设 l 方程为 xa + y b = 1, ①a = b 时,把 M(1,2)代入得 1a + 2 a = 1,∴ a = 3,l 方程为 x + y - 3 = 0; ②a = - b 时,把 M(1,2)代入得 1a - 2 a =1,a = -1,l 方程为 x - y +1 =0. 综上所述,直线 l 的方程为:2x - y = 0 或 x + y - 3 = 0 或 x - y + 1 = 0. (2)依题,直线 l 斜率存在,设其为 k,设 l 方程为 y - 2 = k(x - 1),即 kx - y - k + 2 = 0, ∴ 原点 O 到 l 的距离 d = | - k + 2 | k2 + 1 = 1,则 k = 34 ,所以直线 l 的方程为 3x - 4y + 5 = 0;△AOB 的面积 S = 12 × 5 3 × 5 4 = 25 24 . 20. (1)设圆心 C(c,0),则半径 R2 = ( c + 3) 2 + 9 = ( c - 2) 2 + 4,则 c = - 1, R2 = 13圆 C 方程:(x + 1) 2 + y2 = 13. (2)由于 kPQ = 2 + 3 2 + 3 = 1,且 l∥PQ,设 l:y = x + b,则线段 AB 的中垂线(过 圆心 C)为:x + y + 1 = 0,则线段 AB 中点 y = x + b x + y + 1 = 0{ ⇒ x = - b + 12 y = b - 12 { ,以 线段 AB 为直径的圆半径 r2 = AB2( ) 2 = 13 - | - 1 + b | 2( ) 2 = 13 - (b - 1) 2 2 ,则以线段 AB 为直径的圆方程为: x + b + 1 2( ) 2 + y - b - 12( ) 2 = 13 - (b - 1) 2 2 ,又由题意知过原点, 则 0 + b + 12( ) 2 + 0 - b - 12( ) 2 = 13 - (b - 1) 2 2 ,则 b = 4 或 - 3, 所以直线 l:x -