2.2 基本不等式 讲义（知识点+考点+练习）-2021-2022学年人教A版（2019）高一数学必修第一册

2.2 基本不等式 一、基本不等式 1．基本不等式：如果a>0，b>0，≤，当且仅当a＝b时，等号成立． 其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 2．变形：ab≤2，a，b∈R，当且仅当a＝b时，等号成立． a＋b≥2，a，b都是正数，当且仅当a＝b时，等号成立． 思考1　不等式≥ab和≥中等号成立的条件相同吗？ 答案　相同．都是当且仅当a＝b时等号成立． 思考2　“当且仅当a＝b时，等号成立”的含义是什么？ 答案　a＝b⇔＝ab；a＝b>0⇔＝. 二、用基本不等式求最值 用基本不等式≥求最值应注意： （1）x，y是正数． （2）①如果xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2； ②如果x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2. （3）讨论等号成立的条件是否满足． 思考3　利用基本不等式求最大值或最小值时，应注意什么问题呢？ 答案　利用基本不等式求最值时应注意：一正，二定，三相等． 思考4　x＋的最小值是2吗？ 答案　只有当x>0时，才有x＋≥2＝2，即x＋的最小值是2； 当x<0时，x＋没有最小值，此时x＋＝－≤－2＝－2， 即当x<0时，x＋的最大值是－2. 考点一 公式的直接运用 【例1】 (2020·全国高一课时练习)若，则的最小值是 (　　) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】则，，当时取“=”，所以正确选项为C 【练1】 (2020·全国高一课时练习)已知，求的最大值 . 【答案】 【解析】，则，由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，当时，求的最大值为. 考点二 条件型 【例2】(2020·全国高一开学考试)已知,则的最小值是( ) A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【解析】(当且仅当，即时取等号)的最小值为故选： 【练2】 (2019·云南弥勒市一中高一期末)若，且，则的最小值为(　 　) A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【解析】因为，所以. 因为，所以，. 所以，当且仅当，即时等号成立. 所以，即的最小值为. 考点三 配凑型 【例3】 (2020·全国高一专题练习)设，求的最大值 . 【答案】1 【解析】∵，∴∴ 所以 当且仅当，即时等号成立 所以的最大值为 【练3】(2019·湖南高新技术产业园区 衡阳市