3.2函数的基本性质 讲义（知识点+考点+练习）-2021-2022学年人教A版（2019）高一数学必修第一册

3.2 函数的基本性质 1、 增函数与减函数的定义 1. 前提条件：设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I 条件 ∀x1，x2∈D，x1<x2 条件 图示 都有f(x1)<f(x2) 都有f(x1)>f(x2) 结论 f(x)在区间D上单调递增 特殊情况 当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数 f(x)在区间D上单调递减 思考1　所有的函数在定义域上都具有单调性吗？举例说明． 思考2　在增函数和减函数定义中，能否把“任意x1，x2∈I”改为“存在x1，x2∈I”？举例说明． 思考3　∀x1，x2∈D，若(x2－x1)[f(x2)－f(x1)]>0或>0，则y＝f(x)在某个区间D上单调递增吗？简要说明原因． 二、函数的单调区间 如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 三、函数的最大值与最小值 最大值 最小值 条件 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：∀x∈I，都有 f(x)≤M f(x)≥M ∃x0∈I，使得f(x0)＝M 结论 称M是函数y＝f(x)的最大值 称M是函数y＝f(x)的最小值 几何意义 f(x)图象上最高点的纵坐标 f(x)图象上最低点的纵坐标 思考1　若函数f(x)≤M，则M一定是函数的最大值吗？ 思考2　若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，则f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值分别是多少？ 四、求函数最值的常用方法 1．图象法：作出y＝f(x)的图象，观察最高点与最低点，最高(低)点的纵坐标即为函数的最大(小)值． 2．运用已学函数的值域． 3．运用函数的单调性： (1)若y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，则ymax＝f(b)， 　ymin＝f(a)． (2)若y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，则ymax＝f(a)， 　ymin＝f(b)． 4．分段函数的最大(小)值是指各段上的最大(小)值中最大(小)的那个． 五、函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数 关于y轴对称 奇函数